Masse bleibt überall gleich, die Gewichtskraft nicht. Warum eine Waage auf dem Mond etwas anderes anzeigt — und was g damit zu tun hat.
Eine Kraft wirkt auch dann, wenn niemand etwas tut — sie zieht jeden Körper in Richtung Erdmittelpunkt.
Bisher war eine Kraft immer etwas, das jemand ausübt: ziehen, schieben, treten. Das Bild zur neuen Kraft liefert die Personenwaage.
Gewichtskraft Einstieg
Gewichtskraft: Die Kraft, die jeden Körper zum Erdmittelpunkt zieht, hat einen eigenen Namen und eine eigene Formel.
Waage: Eine Personenwaage misst eine Kraft und zeigt sie als Kilogramm an. Auf dem Mond zeigt sie eine andere Zahl.
Wirkt eine Kraft in Richtung Erdmittelpunkt, so spricht man von der Gewichtskraft \( F_G \).
Die drei Kernaussagen:
\( F_G = m \cdot g_E \)
Gewichtskraft: Wirkt eine Kraft in Richtung Erdmittelpunkt, heißt sie Gewichtskraft \( F_G \).
Erdbeschleunigung: \( g_E = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2} \) — die Beschleunigung, mit der man beim freien Fall zur Erde gezogen wird.
Ortsabhängigkeit: Die Masse ist überall im Universum gleich, die Gewichtskraft hängt vom Ortsfaktor ab.
Masse: Die Masse ist überall gleich und beschreibt, wie viel Materie ein Körper enthält. Die Gewichtskraft ist ortsabhängig.
Ortsfaktor: Der Ortsfaktor \(g\) hängt vom Himmelskörper und der Stelle ab: Erde \(9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\), Mars \(3{,}69\,\mathrm{m/s^2}\), Mond \(1{,}62\,\mathrm{m/s^2}\).
Zusammenhang: Die Gewichtskraft ist die Grundgleichung \(F = m\cdot a\) mit \(a = g\). Die Masse muss in Kilogramm eingesetzt werden.
Gewichtskraft:
\( F_G = m \cdot g_E \)
FG: Gewichtskraft in Newton (N).
m: Masse in Kilogramm (kg).
gE: Erdbeschleunigung in m/s².
Erdbeschleunigung:
\( g_E = 9{,}81\,\dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \)
Die Beschleunigung, mit der man beim freien Fall zur Erde gezogen wird.
Die Gewichtskraft braucht keine neue Gleichung: Sie ist die Grundgleichung der Mechanik, in der die Beschleunigung einen festen Wert hat — den des freien Falls.
Umgangssprachlich sagt man „ich wiege 80 Kilo“ — physikalisch sind das zwei verschiedene Größen.
| Ort | Ortsfaktor g | Masse m | Gewichtskraft FG |
|---|---|---|---|
| Erde | 9,81 m/s² | 80 kg | 784,8 N |
| Mars | 3,69 m/s² | 80 kg | 295,2 N |
| Mond | 1,62 m/s² | 80 kg | 129,6 N |
Der Wert 9,81 m/s² ist ein Mittelwert — nachgemessen kommen an verschiedenen Orten der Erde leicht verschiedene Zahlen heraus:
| Ort | Fallbeschleunigung g |
|---|---|
| Nordpol | 9,83 m/s² |
| Helsinki | 9,82 m/s² |
| Bonn | 9,81 m/s² |
| Madrid | 9,80 m/s² |
| Mekka | 9,79 m/s² |
| Äquator | 9,78 m/s² |
Am Äquator ist die Fallbeschleunigung am kleinsten, am Nordpol am größten. Dafür gibt es zwei Gründe.
Eine Masse wird gedanklich an verschiedene Orte im Universum mitgenommen. Wähle einen Ort und verändere die Masse. Achte darauf, welche der beiden Anzeigen sich ändert — und welche nicht.
Halte fest: Die linke Anzeige rührt sich nicht, egal welchen Ort du wählst; die rechte Anzeige und der Balken folgen dagegen dem Ortsfaktor. Genau dieser Unterschied steckt hinter dem Satz „auf dem Mond ist man leichter“.
Drei häufige Stolperstellen:
Auf dem Mond ist nicht die Masse kleiner. Sie ist überall im Universum gleich — kleiner wird allein die Gewichtskraft, weil in \(F_G = m \cdot g\) der Ortsfaktor \(g\) kleiner ist.
Gewichtskraft steht in Newton, nicht in Kilogramm — Kilogramm ist die Einheit der Masse. Eine Personenwaage misst zwar eine Kraft, rechnet sie aber intern mit \(g_E\) in eine Masse um.
\(g\) ist keine feste Naturkonstante: \(g_E = 9{,}81\,\mathrm{m/s^2}\) ist ein Mittelwert für die Erde. Gemessen reicht die Spanne von 9,78 m/s² am Äquator bis 9,83 m/s² am Nordpol — daher Ortsfaktor.