Experiment: Würfel

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100 Würfel statt 100 Atomkerne

Den Zerfall von Uran kann niemand abwarten.

Zeit:Die Hälfte ist erst nach 4,5 Milliarden Jahren weg.
Ausweg:Ein Zufallsvorgang lässt sich durch einen anderen ersetzen.
Modell:Statt Atomkernen werfen wir 100 Würfel.

Das ProblemEin einzelner Kern zerfällt zufällig. Erst bei sehr vielen Kernen entsteht daraus eine Halbwertszeit — und die ist im Klassenzimmer nicht messbar.

Die Idee: ein ModellexperimentEin Würfel hat dieselbe Eigenschaft wie ein Kern: eine feste Wahrscheinlichkeit pro Schritt (Sechs = ein Sechstel), die sich nie ändert. Also: Würfel = Atomkern, Sechs = Zerfall.

Der Versuch und seine Messreihe

Merke

Der Versuch in drei Sätzen:

Werfen → Sechsen aussortieren → Rest erneut werfen

Werfen: Alle Würfel gleichzeitig werfen. Ein Wurf ist ein Zeitschritt.

Aussortieren: Jede Sechs gilt als zerfallen und kommt endgültig weg.

Rest: Die übrigen Würfel zählen, notieren und erneut werfen.

Modell: Würfel entsprechen Atomkernen, eine Sechs entspricht einem Zerfall. Die Wahrscheinlichkeit pro Wurf bleibt immer gleich.

Kurve: Jedes Mal scheidet derselbe Anteil aus, deshalb fällt die Kurve erst steil, dann flacher (Exponentialkurve). Die Halbwertszeit beträgt etwa 4 Würfe.

Zufall: Bei wenigen Würfeln streut die Kurve stark, bei sehr vielen Kernen ist der Zerfall gut vorhersagbar.

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Messreihe aus dem Unterricht

Verbleibende Würfel (orange: Hälfte · Viertel · Achtel)
Wurf	übrig	zerfallen
0	100	—
1	71	29
2	59	12
3	46	13
4	37	9
5	25	12
6	22	3
7	21	1
8	18	3
9	17	1
10	15	2
11	14	1
12	12	2
13	11	1
14	10	1
15	8	2
16	6	2
17	6	0
18	5	1
19	4	1
20	3	1
21	2	1

Es entsteht eine fallende Exponentialkurve.

Form:Erst fällt die Kurve steil, dann immer flacher.
Grund:Jedes Mal scheidet derselbe Anteil aus, ein Sechstel.
Bestand:Dieser Anteil wird von einem immer kleineren Bestand genommen.

Halbwertszeit ablesenDie Stelle suchen, an der noch 50 von 100 übrig sind: etwa 4 Würfe. Rechnerisch dauert jede Halbierung gleich lang. In der Messreihe streut das: 50 → 25 schon bei Wurf 5, 25 → 12 erst bei Wurf 12 — Zufall bei kleinen Zahlen.

Kein GedächtnisBeim 20. Wurf ist die Chance auf eine Sechs genauso groß wie beim ersten. Genauso zerfällt ein Kern heute mit derselben Wahrscheinlichkeit wie vor tausend Jahren. Daraus folgt in beiden Fällen dieselbe Kurve.

Merke

Erwarteter Bestand im Würfelmodell:

\( N(t) \;=\; 100 \,\cdot\, \left(\dfrac{5}{6}\right)^{\,t} \)

N(t): Zahl der verbleibenden Würfel nach t Würfen.

t: Anzahl der Würfe, also die Zeit im Modell.

Halbierung: Nach rund 3,8 Würfen ist N auf die Hälfte gefallen.

Jeder Klick auf „Werfen“ würfelt alle verbliebenen Würfel neu, alle Sechsen verschwinden. Die Messreihe des Unterrichts liefert eine Vergleichskurve, und mit mehr Startwürfeln wird die eigene Kurve glatter.

Deine Messreihe
Wurf	verbleibend	zerfallen

Startanzahl100 Würfel

Messreihe des Unterrichts anzeigen

Halte fest: Die abgelesene Halbwertszeit landet fast immer zwischen 3 und 5 Würfen, aber selten genau auf demselben Wert. Mit 20 Würfeln springt die Kurve, mit 200 wird sie glatt — deshalb ist der Zerfall einer echten Probe mit ihren unzähligen Kernen so gut vorhersagbar.

Wo das Modell an seine Grenzen kommt

Würfelmodell und radioaktiver Zerfall im Vergleich
Punkt	im Würfelmodell	beim radioaktiven Zerfall
Zeit	Würfe ohne Einheit — das Modell zeigt die Form, nicht das Tempo	echte Zeit in s, d oder a
Anzahl	100 Würfel: am Ende zackige Kurve, starke Streuung (Wurf 17: keine Sechs)	Milliarden Milliarden Kerne: der Zufall mittelt sich heraus
Was übrig bleibt	der Würfel wird nur aussortiert	der Kern wandelt sich in ein anderes Nuklid um

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Allgemeine Hinweise

Nicht 6 Würfe

Ein Sechstel pro Wurf halbiert den Bestand schon nach etwa 4 Würfen. Nach 6 Würfen sind nur noch 33 von 100 übrig.

Kein Zurückwerfen

Aussortierte Würfel bleiben draußen. Ein zerfallener Kern ist endgültig umgewandelt.

Streuung ist normal

Abweichungen sind kein Messfehler, sondern Zufall. Je weniger Würfel übrig sind, desto stärker fällt er auf.