Die Punktprobe

Ein t für alle drei Zeilen

Ein Punkt \(Q\) liegt auf \(g\), wenn es einen Parameterwert \(t\) gibt, der genau \(Q\) liefert. Dieser eine Wert muss in allen drei Koordinaten passen.

Herleitung:

\(\overrightarrow{OQ}=\vec p+t\cdot\vec u\)

Q einsetzen

Start: Ansatz der Punktprobe.

\(q_1=p_1+t\,u_1,\quad q_2=p_2+t\,u_2,\quad q_3=p_3+t\,u_3\)

| − pᵢ, : uᵢ

Drei Gleichungen, eine Unbekannte \(t\).

\(t=\dfrac{q_1-p_1}{u_1}=\dfrac{q_2-p_2}{u_2}=\dfrac{q_3-p_3}{u_3}\)

Ergebnis

Gleiche Werte ⇒ \(Q\in g\); verschiedene Werte ⇒ \(Q\notin g\).

Lösbar:alle drei Zeilen liefern dasselbe \(t\) — \(Q\) liegt auf \(g\).
Widerspruch:zwei Zeilen liefern verschiedene \(t\) — \(Q\) liegt nicht auf \(g\).
\(u_i=0\):diese Zeile enthält kein \(t\); sie ist nur erfüllt, wenn \(q_i=p_i\) gilt.

Verschiebe \(Q\) mit den Knöpfen. Jede Koordinatenzeile liefert ihren eigenen Wert \(t\) — die drei Punkte \(X(t)\) werden auf \(g\) und auf der \(t\)-Achse übereinandergelegt.

q₁ von Q

q₂ von Q

q₃ von Q

Halte fest: \(Q\) liegt genau dann auf \(g\), wenn die drei Punkte \(X(t)\) zu einem einzigen verschmelzen — und der liegt dann auf \(Q\).

Merke

Punktprobe: \(Q\) liegt auf \(g\), wenn ein einziger Parameterwert \(t\) genau \(Q\) liefert.

Rechnung: Jede Zeile liefert ein \(t\): \(t=\dfrac{q_1-p_1}{u_1}=\dfrac{q_2-p_2}{u_2}=\dfrac{q_3-p_3}{u_3}\).

Ergebnis: Dasselbe \(t\) in allen Zeilen: \(Q\) liegt auf \(g\); verschiedene Werte: \(Q\) liegt nicht auf \(g\).

Sonderfall: Bei \(u_i=0\) enthält die Zeile kein \(t\); sie ist nur erfüllt, wenn \(q_i=p_i\) gilt.

Strecken und Rechnerhilfe

Oft geht es nicht um eine ganze Gerade, sondern um eine Strecke — oder die Rechnung soll schnell gehen.

Strecke \(\overline{AB}\):Mit \(\vec x=\overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{AB}\) liegt \(Q\) auf der Strecke, wenn zusätzlich \(0\le t\le1\).
Anteil deuten:\(t=0{,}25\) heißt: \(Q\) liegt nach einem Viertel des Weges von \(A\) nach \(B\).
CAS:TI-Nspire CX CAS: solve(4−t=2 and 2·t=4 and 1+t=3,t) liefert t=2; bei einem Widerspruch lautet die Ausgabe false.

Merke

Punktprobe: \(Q\in g\iff\) es gibt ein \(t\) mit \(\overrightarrow{OQ}=\vec p+t\cdot\vec u\)

Strecke: Bei \(\vec x=\overrightarrow{OA}+t\cdot\overrightarrow{AB}\) liegt \(Q\) auf der Strecke \(\overline{AB}\), wenn zusätzlich \(0\le t\le1\) gilt.

Anteil: \(t=0{,}25\) heißt: \(Q\) liegt nach einem Viertel des Weges von \(A\) nach \(B\).

Allgemeine Hinweise

Alle Zeilen prüfen

Stimmen zwei Zeilen überein, ist noch nichts bewiesen. Erst die dritte Zeile entscheidet.

Keine Division durch 0

Ist \(u_i=0\), löst du diese Zeile nicht nach \(t\) auf, sondern vergleichst \(q_i\) direkt mit \(p_i\).

Ergebnis als Satz

Schreibe am Ende: „Für \(t=2\) sind alle Gleichungen erfüllt, also liegt \(Q\) auf \(g\).“ — oder den Widerspruch.