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Winkelgrößen bestimmen

Zwei Kondensstreifen kreuzen sich am Himmel — aber welcher der beiden Winkel ist eigentlich „der“ Winkel zwischen ihnen?

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Winkel zwischen zwei Vektoren

Skalarprodukt und Beträge verraten den Winkel zwischen zwei Vektoren.

  • Ansatz:Die geometrische Form des Skalarprodukts nach \(\cos\alpha\) auflösen.
  • Bereich:Der Winkel zwischen zwei Vektoren liegt zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\).

Herleitung:

\(\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha\)
\(:(|\vec a|\cdot|\vec b|)\)
Start: geometrische Form des Skalarprodukts.
\(\cos\alpha=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\)
\(\cos^{-1}\)
Rechts stehen nur Größen, die man aus den Koordinaten berechnen kann.
\(\alpha=\cos^{-1}\!\left(\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\right)\)
Ergebnis
Der Rechner muss dafür im Gradmaß stehen.
Merke

Winkel zwischen Vektoren: \(\cos\alpha=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{|\vec a|\cdot|\vec b|}\), \(0^\circ\le\alpha\le180^\circ\)

Herkunft: Die Formel entsteht, indem man die geometrische Form des Skalarprodukts nach \(\cos\alpha\) auflöst.

Innenwinkel: Beim Winkel bei \(A\) im Dreieck \(ABC\) nimmt man \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\), die beide im Scheitel beginnen.

Probe: Die drei Innenwinkel ergeben zusammen \(180^\circ\).

  • Innenwinkel:Winkel bei \(A\) im Dreieck \(ABC\): Vektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) — beide beginnen im Scheitel.
  • Probe:Die drei Innenwinkel ergeben zusammen \(180^\circ\).
  • GTR:Casio fx-CG50: SHIFT MENU (SET UP) → Angle: Deg; dann Run-Matrix OPTN → MAT/VCT (F2) → ▷ (F6) → ▷ (F6) → Angle( (F4), z. B. Angle([[1,2,2]],[[2,−1,2]]) EXE → 63.61220004.
  • CAS:TI-Nspire CX CAS im Gradmodus: cos⁻¹(dotP(a,b)/(norm(a)·norm(b))) mit ctrl enter für die Näherung.
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Schnittwinkel zweier Geraden

Eine Gerade hat keine Pfeilrichtung — deshalb gibt es beim Schnittwinkel nur den spitzen Winkel.

  • Zwei Winkel:Sich schneidende Geraden bilden die Winkel \(\alpha\) und \(180^\circ-\alpha\).
  • Schnittwinkel:Gemeint ist immer der kleinere, also \(0^\circ\le\alpha\le90^\circ\).
  • Betrag:Mit den Richtungsvektoren: \(\cos\alpha=\dfrac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\cdot|\vec v|}\).
  • Strecken:Winkel zwischen Strecken wie Innenwinkel berechnen — dort ist auch ein stumpfer Winkel möglich.

Wähle ein Geradenpaar und kehre den Richtungsvektor \(\vec v\) um. Blende den Vektorwinkel und den Schnittwinkel einzeln oder übereinander ein und vergleiche.

Vektorwinkel und Schnittwinkel

Halte fest: Umdrehen macht aus \(\alpha\) den Winkel \(180^\circ-\alpha\) — der Schnittwinkel bleibt, weil der Betrag im Zähler das Vorzeichen schluckt.

Merke

Schnittwinkel: Sich schneidende Geraden bilden die Winkel \(\alpha\) und \(180^\circ-\alpha\); gemeint ist der kleinere mit \(0^\circ\le\alpha\le90^\circ\).

Formel: Mit den Richtungsvektoren gilt:

\(\cos\alpha=\dfrac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\cdot|\vec v|}\)

Strecken: Winkel zwischen Strecken berechnet man wie Innenwinkel; dort ist auch ein stumpfer Winkel möglich.

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Allgemeine Hinweise

Gradmaß einstellen

Im Bogenmaß liefert der Rechner für \(\cos^{-1}(0{,}5)\) den Wert 1,047 statt \(60^\circ\).

Vom Scheitel aus

Für den Innenwinkel bei \(B\) die Vektoren \(\overrightarrow{BA}\) und \(\overrightarrow{BC}\) nehmen. Mit \(\overrightarrow{AB}\) entsteht der Nebenwinkel.

Gerade oder Strecke?

Bei Geraden den Betrag im Zähler setzen, bei Strecken und Innenwinkeln nicht.

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