Volumen ebenflächiger Körper
Rauminhalte berechnet man mit den bekannten Formeln — die Koordinaten liefern Grundfläche und Höhe.
- Prisma, Quader:\(V=G\cdot h\) — Grundfläche mal Höhe.
- Pyramide:\(V=\tfrac13\cdot G\cdot h\); ein Tetraeder ist eine Pyramide mit dreieckiger Grundfläche.
- Grundfläche:\(G\) wie bei den Flächeninhalten — Rechteck: \(G=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AD}|\), Dreieck: \(G=\tfrac12\cdot g\cdot h_\Delta\).
- Höhe:Abstand der Spitze von der Ebene der Grundfläche — senkrecht gemessen, nicht entlang einer Kante.
Volumen einer Pyramide: \(V=\tfrac13\cdot G\cdot h\)
Prisma und Quader: \(V=G\cdot h\), also Grundfläche mal Höhe.
Grundfläche: Rechteck: \(G=|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{AD}|\); Dreieck: \(G=\tfrac12\cdot g\cdot h_\Delta\).
Höhe: Sie ist der senkrecht gemessene Abstand der Spitze von der Ebene der Grundfläche, nicht die Länge einer Kante.
Die Höhe messen
Die Höhe ist die kürzeste Verbindung zwischen Spitze und Grundflächenebene.
- Koordinatenebene:Liegt \(G\) in der \(x_1x_2\)-Ebene, ist \(h=|s_3|\) — die dritte Koordinate der Spitze.
- Parallele Ebene:Liegt \(G\) in der Höhe \(x_3=c\), gilt \(h=|s_3-c|\).
- Allgemein:Lotfußpunkt \(F=A+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AD}\) mit \(\overrightarrow{FS}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) und \(\overrightarrow{FS}\cdot\overrightarrow{AD}=0\), dann \(h=|\overrightarrow{FS}|\).
- Schiefe Pyramide:Verschiebt man die Spitze parallel zur Grundfläche, bleiben \(h\) und \(V\) gleich.
Ziehe den Fußpunkt M der violetten Messlatte über die Grundfläche des Zelts (oder wähle M an und nutze die Pfeiltasten). Finde die Stelle, an der die Messlatte am kürzesten ist — dort steht sie senkrecht auf der Grundfläche.
Halte fest: Die kürzeste Messlatte steht senkrecht auf \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AD}\) — ihre Länge ist die Höhe, und bei jedem der drei Zelte ergibt sich dasselbe Volumen.
Höhe: Die Höhe ist die kürzeste Verbindung zwischen Spitze und Grundflächenebene.
Koordinatenebene: Liegt \(G\) in der \(x_1x_2\)-Ebene, gilt \(h=|s_3|\); liegt \(G\) in der Höhe \(x_3=c\), gilt \(h=|s_3-c|\).
Allgemein: Lotfußpunkt \(F=A+r\cdot\overrightarrow{AB}+s\cdot\overrightarrow{AD}\) mit \(\overrightarrow{FS}\cdot\overrightarrow{AB}=0\) und \(\overrightarrow{FS}\cdot\overrightarrow{AD}=0\), dann \(h=|\overrightarrow{FS}|\).
Schiefe Pyramide: Verschiebt man die Spitze parallel zur Grundfläche, bleiben \(h\) und \(V\) gleich.
Allgemeine Hinweise
Kante ist nicht Höhe
\(|\overrightarrow{AS}|\) ist die Länge einer Seitenkante. Die Höhe ist immer kürzer, außer die Kante steht senkrecht.
Koordinatenebenen nutzen
Liegt die Grundfläche in einer Koordinatenebene, kannst du die Höhe direkt an einer Koordinate der Spitze ablesen.
Faktor ein Drittel
\(\tfrac13\) gehört nur zu Spitzkörpern. Prisma und Quader: \(V=G\cdot h\).