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Orthogonalität von Vektoren

Im Schrägbild sieht ein rechter Winkel oft schief aus — wie weiß man trotzdem sicher, dass zwei Kanten senkrecht stehen?

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Das Kriterium

Ob zwei Richtungen senkrecht sind, entscheidet eine einzige Zahl.

  • Senkrecht:Zwei Vektoren heißen orthogonal \((\vec a\perp\vec b)\), wenn sie einen Winkel von \(90^\circ\) einschließen.
  • Kosinus:\(\cos 90^\circ=0\) — also verschwindet das Skalarprodukt.
  • Vorsicht:Das Kriterium gilt nur für \(\vec a\ne\vec 0\) und \(\vec b\ne\vec 0\).

Herleitung:

\(\vec a\cdot\vec b=|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha\)
\(=0\) setzen
Start: geometrische Form des Skalarprodukts.
\(|\vec a|\cdot|\vec b|\cdot\cos\alpha=0\)
\(:(|\vec a|\cdot|\vec b|)\)
Erlaubt, weil keiner der beiden Vektoren der Nullvektor ist.
\(\cos\alpha=0\)
\(\cos^{-1}\)
Zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) hat der Kosinus genau eine Nullstelle.
\(\alpha=90^\circ\iff\vec a\cdot\vec b=0\)
Ergebnis
Jeder Schritt lässt sich umkehren.
Merke

Orthogonalität: \(\vec a\perp\vec b\iff\vec a\cdot\vec b=0\) (für \(\vec a,\vec b\ne\vec 0\))

Senkrecht: Zwei Vektoren heißen orthogonal, wenn sie einen Winkel von \(90^\circ\) einschließen.

Grund: Wegen \(\cos 90^\circ=0\) verschwindet dann das Skalarprodukt.

Vorsicht: Das Kriterium gilt nur für \(\vec a\ne\vec 0\) und \(\vec b\ne\vec 0\).

Wähle ein Kantenpaar der Pyramide, tippe zuerst, ob die beiden Richtungen senkrecht sind — und lass dann das Skalarprodukt entscheiden.

Senkrecht oder nicht?

Halte fest: Im Schrägbild sieht man einem rechten Winkel nichts an — erst \(\vec a\cdot\vec b=0\) liefert die Gewissheit, sogar bei Kanten, die sich gar nicht treffen.

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Orthogonalität nutzen

  • Rechter Winkel:Im Dreieck \(ABC\) liegt bei \(B\) ein rechter Winkel, wenn \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\).
  • Rechteck:Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist ein Rechteck.
  • Parameter:\(\begin{pmatrix}2\\t\\1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3\\4\\-2\end{pmatrix}=6+4t-2=0\;\Rightarrow\;t=-1\)
  • Senkrechter Vektor:Eine Koordinate null setzen, die anderen tauschen und ein Vorzeichen ändern: zu \((2|3|5)\) passt \((3|-2|0)\), denn \(6-6+0=0\).
  • Geraden:Orthogonal, wenn die Richtungsvektoren orthogonal sind — auch wenn sich die Geraden nicht schneiden.
Merke

Rechter Winkel: Im Dreieck \(ABC\) liegt bei \(B\) ein rechter Winkel, wenn \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=0\).

Rechteck: Ein Parallelogramm mit einem rechten Winkel ist ein Rechteck.

Parameter: Orthogonalität liefert eine Gleichung: Skalarprodukt gleich 0 setzen und nach dem Parameter auflösen.

Geraden: Sie sind orthogonal, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal sind, auch ohne Schnittpunkt.

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Allgemeine Hinweise

Das Schrägbild täuscht

Rechte Winkel erscheinen im Schrägbild schief, schiefe Winkel manchmal rechtwinklig. Nur die Rechnung zählt.

Richtung egal

\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\) — für die Prüfung auf null spielt die Pfeilrichtung keine Rolle.

Nicht mit kollinear verwechseln

Kollinear heißt \(\vec a=r\cdot\vec b\) (gleiche Richtung), orthogonal heißt \(\vec a\cdot\vec b=0\).

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