Vier mögliche Lagen
Zwei Geraden im Raum können auf genau vier Arten zueinander liegen.
- Identisch:Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade — unendlich viele gemeinsame Punkte.
- Echt parallel:Gleiche Richtung, aber kein gemeinsamer Punkt.
- Schneidend:Verschiedene Richtungen, genau ein gemeinsamer Punkt \(S\).
- Windschief:Verschiedene Richtungen und kein gemeinsamer Punkt — das gibt es nur im Raum.
- Gerade:\(g\colon\ \vec x=\vec p+r\cdot\vec u\) mit Stützvektor \(\vec p\) und Richtungsvektor \(\vec u\).
Vier Lagen: Zwei Geraden sind identisch, echt parallel, schneidend oder windschief.
Identisch: Beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade.
Echt parallel: Gleiche Richtung, aber kein gemeinsamer Punkt.
Schneidend und windschief: Bei verschiedenen Richtungen gibt es genau einen gemeinsamen Punkt (schneidend) oder keinen (windschief); windschief gibt es nur im Raum.
Das Prüfschema
Zwei Fragen genügen: Wie liegen die Richtungen — und gibt es einen gemeinsamen Punkt?
- 1. Richtung:Sind \(\vec u\) und \(\vec v\) kollinear, also \(\vec v=k\cdot\vec u\)? Quotienten der Koordinaten vergleichen.
- 2a. Kollinear:Punktprobe: Liegt der Stützpunkt \(Q\) von \(h\) auf \(g\)? Ja → identisch, nein → echt parallel.
- 2b. Nicht kollinear:Gleichsetzen \(\vec p+r\vec u=\vec q+s\vec v\): drei Gleichungen für \(r\) und \(s\).
- LGS lösbar:Zwei Gleichungen lösen, die dritte prüfen. Stimmt sie → schneidend, Widerspruch → windschief.
- GTR/CAS:fx-CG50: EQUA → SIMUL (F1) → 2 Unbekannte (F1) für zwei Gleichungen; TI-Nspire: solve(…and…and…,{r,s}) meldet false, wenn es keine Lösung gibt.
Lage zweier Geraden: kollinear + gemeinsamer Punkt → identisch · kollinear ohne gemeinsamen Punkt → echt parallel · nicht kollinear + gemeinsamer Punkt → schneidend · sonst → windschief
Richtung: Zuerst prüft man, ob \(\vec v=k\cdot\vec u\) gilt.
Kollinear: Mit einer Punktprobe entscheidet man zwischen identisch und echt parallel.
Nicht kollinear: Man setzt \(\vec p+r\vec u=\vec q+s\vec v\) gleich, löst zwei Gleichungen und prüft die dritte: Stimmt sie, schneiden sich die Geraden, sonst sind sie windschief.
Wähle ein Geradenpaar — es erscheint im Schrägbild. Sortiere es dann in eine der vier Gruppen. Mit „Prüfen“ siehst du, welche Zuordnungen stimmen, und das Prüfschema zum gewählten Paar.
Halte fest: Zuerst die Richtungsvektoren vergleichen — erst danach entscheidet ein gemeinsamer Punkt zwischen identisch und parallel bzw. schneidend und windschief.
Allgemeine Hinweise
Zwei verschiedene Parameter
Beim Gleichsetzen \(r\) und \(s\) verwenden. Mit demselben Buchstaben wird nur geprüft, ob zwei Punkte „gleichzeitig“ zusammentreffen.
Dritte Gleichung prüfen
Zwei Gleichungen sind fast immer lösbar. Erst die dritte entscheidet zwischen schneidend und windschief.
Schrägbild täuscht
Im Schrägbild scheinen sich windschiefe Geraden oft zu kreuzen. Nur die Rechnung entscheidet.