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Der Abrollweg
AFB I–IIAuf einem Flughafen verläuft die Mittellinie der Landebahn entlang der \(x\)-Achse (1 LE = 100 m). Nach der Landung sollen Flugzeuge die Landebahn im Punkt \(A(0\mid 0)\) verlassen und über einen Abrollweg auf den geraden Rollweg \(g(x)=0{,}75x-0{,}5\) gelangen, den sie im Punkt \(B(2\mid 1)\) erreichen.
Die Mittellinie des Abrollwegs zwischen \(A\) und \(B\) soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion \(f\) beschrieben werden, die an beiden Punkten ohne Sprung und ohne Knick anschließt.
Abrollweg am Flughafen (Draufsicht)
- Geben Sie die Bedingungen an, die \(f\) an den Nahtstellen erfüllen muss.
- Stellen Sie mit einem Ansatz vom Grad 3 einen Funktionsterm für \(f\) auf.
- Bestätigen Sie, dass die Mittellinie des Abrollwegs 100 m hinter \(A\) rund 31 m neben der Mittellinie der Landebahn liegt.
- Flugzeuge sollen nicht stärker einlenken als nötig. Überprüfen Sie, ob der Abrollweg zwischen \(A\) und \(B\) irgendwo steiler verläuft als der Rollweg \(g\).
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Je Nahtstelle zwei Bedingungen: gleicher Punkt und gleiche Steigung. Die Steigung der Landebahn ist \(0\), die von \(g\) liest du am Term ab.
Hinweis zu Aufgabe b)
Mit \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) und \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) liefern die Bedingungen bei \(A\) sofort \(c\) und \(d\). Das restliche LGS mit zwei Unbekannten löst du per Hand oder mit dem GTR (MENU › Gleichung › F1 (SIMUL)).
Hinweis zu Aufgabe c)
100 m hinter \(A\) bedeutet \(x=1\). Der Abstand zur Landebahn ist der Funktionswert.
Hinweis zu Aufgabe d)
Untersuche das Monotonieverhalten von \(f'\) auf \([0;2]\) mithilfe von \(f''\) und vergleiche den größten Wert mit der Steigung von \(g\).