Sprungfrei und knickfrei
Eine Trasse setzt sich aus Stücken zusammen: links der Graph von \(g\), rechts der von \(h\). Entscheidend ist die Nahtstelle \(x_0\).
- Sprungfrei:gleiche Funktionswerte, \(g(x_0)=h(x_0)\) — die Stücke hängen zusammen.
- Knickfrei:zusätzlich gleiche Steigung, \(g'(x_0)=h'(x_0)\) — die Fahrtrichtung springt nicht.
- Knick:Die Fahrtrichtung ändert sich schlagartig — ein Fahrzeug müsste an dieser Stelle ruckartig lenken.
- Ruckfrei:Für Bahnstrecken fordert man oft noch gleiche Krümmung, \(g''(x_0)=h''(x_0)\).
Knickfreier Übergang bei \(x_0\): \(g(x_0)=h(x_0)\) und \(g'(x_0)=h'(x_0)\)
Sprungfrei: Die Stücke haben an der Nahtstelle gleiche Funktionswerte, \(g(x_0)=h(x_0)\).
Knick: Bei ungleicher Steigung ändert sich die Fahrtrichtung schlagartig.
Ruckfrei: Zusätzlich fordert man gleiche Krümmung, \(g''(x_0)=h''(x_0)\).
Wähle ein Übergangsstück zwischen den beiden geraden Straßen und lass das Auto fahren (▶) — oder ziehe es entlang der Straße (Pfeiltasten, mit Umschalt feiner). Unten wird die Fahrtrichtung als Steigung mitgeschrieben.
Halte fest: An einem Knick springt die Steigungskurve — die Fahrtrichtung ändert sich schlagartig. Nur das Übergangsstück vom Grad 3 schließt an beiden Nahtstellen mit gleicher Steigung an.
Ein Übergangsbogen
- Bedingungen:je Ende Punkt und Steigung → vier Bedingungen → Grad 3.
- Ansatz:\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).
Bedingungen: Je Ende gilt eine Bedingung für den Punkt und eine für die Steigung, bei zwei Enden also vier Bedingungen.
Ansatz: Vier Bedingungen führen auf Grad 3: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) mit \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).
Ergebnis: Das Übergangsstück ist \(f(x)=-0{,}25x^3+0{,}75x^2\).
Allgemeine Hinweise
Skizze mit Nahtstellen
Erst skizzieren und an jede Nahtstelle Punkt und Steigung schreiben — daraus ergeben sich die Bedingungen fast von selbst.
Steigung der Nachbarstücke
Die Steigung am Rand kommt aus dem angrenzenden Stück: Gerade → ihre Steigung \(m\), Kurve → deren Ableitung an der Nahtstelle.
Nur im Intervall gültig
Der Übergangsbogen beschreibt die Trasse nur zwischen den Nahtstellen. Außerhalb gelten die angrenzenden Stücke.