Drei Fälle in der Stufenform
Nach dem Gauß-Verfahren entscheidet die unterste Gleichung, wie viele Lösungen das LGS hat.
- Genau eine:unten steht z. B. \(4c=8\) — \(c\) liegt fest, rückwärts einsetzen liefert \(b\) und \(a\).
- Keine:unten steht z. B. \(0=5\) — ein Widerspruch, die Lösungsmenge ist leer: \(L=\{\,\}\).
- Unendlich viele:unten steht \(0=0\) — die Gleichung gilt immer, eine Unbekannte bleibt frei wählbar (Parameter \(t\)).
Letzte Zeile der Stufenform: \(0=0\) → unendlich viele Lösungen · \(0=r\) mit \(r\neq0\) → keine Lösung · sonst genau eine Lösung
Genau eine: Z. B. \(4c=8\), rückwärts einsetzen liefert die übrigen Unbekannten.
Keine: Ein Widerspruch wie \(0=5\), die Lösungsmenge ist leer.
Unendlich viele: Eine Unbekannte bleibt als Parameter \(t\) frei wählbar.
Geometrisch und im Steckbrief
- Zwei Geraden:Jede Gleichung \(ax+by=c\) mit zwei Variablen beschreibt eine Gerade.
- Schneiden:ein gemeinsamer Punkt → genau eine Lösung.
- Parallel:kein gemeinsamer Punkt → keine Lösung.
- Identisch:alle Punkte gemeinsam → unendlich viele Lösungen.
- Zu wenig:Bedingungen fehlen → eine ganze Schar passt, z. B. alle \(f(x)=ax^2-2ax+1\) durch \((0\mid 1)\) und \((2\mid 1)\).
- Widersprüchlich:„Hochpunkt bei \(x=1\)“ und „Steigung 2 bei \(x=1\)“ liefern \(0=2\) — keine Funktion passt.
Wähle ein Beispiel oder tippe einen Koeffizienten an und ändere ihn mit − und + (oder Pfeiltasten). Die beiden Geraden liegen übereinander im Koordinatensystem, links steht die Stufenform.
Gleichungssystem
Stufenform
Halte fest: Sind die linken Seiten Vielfache voneinander, gibt es nie genau eine Lösung — dann entscheidet die rechte Seite zwischen „parallel“ (keine) und „identisch“ (unendlich viele).
Geometrisch: Jede Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gerade: Schneiden ergibt genau eine Lösung, parallel keine, identisch unendlich viele.
Steckbrief: Zu wenige Bedingungen lassen eine ganze Schar von Funktionen zu, widersprüchliche Bedingungen lassen keine zu.
Vielfache: Sind die linken Seiten Vielfache voneinander, entscheidet die rechte Seite zwischen keiner und unendlich vielen Lösungen.
Allgemeine Hinweise
0 = 0 heißt nicht „Lösung 0“
\(0=0\) sagt nur, dass eine Gleichung überflüssig war. Die Lösung besteht aus unendlich vielen Zahlentripeln mit Parameter.
Widerspruch? Erst nachrechnen
Ein \(0=5\) entsteht oft durch einen Rechenfehler. Vor „keine Lösung“ die Umformungen noch einmal prüfen.
Probe mit Parameter
Zwei Werte für \(t\) einsetzen, z. B. \(t=0\) und \(t=1\): Beide Tripel müssen alle Ausgangsgleichungen erfüllen.