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Leiterseil über dem Feld
AFB I–IIZwischen zwei Masten einer Stromleitung hängt ein Leiterseil durch. Am Mast A (bei \(x=0\)) ist das Seil in \(20\,\text{m}\) Höhe befestigt, am \(150\,\text{m}\) entfernten Mast B in \(14\,\text{m}\) Höhe. Eine Drohne misst \(50\,\text{m}\) hinter Mast A eine Seilhöhe von \(8\,\text{m}\).
Das Seil soll näherungsweise durch eine quadratische Funktion \(f(x)=ax^2+bx+c\) beschrieben werden (\(x\): waagerechter Abstand von Mast A in m, \(f(x)\): Höhe über dem Boden in m).
Leiterseil zwischen zwei Masten (Skizze)
- Geben Sie die drei Bedingungen an, die sich aus der Skizze ergeben.
- Stellen Sie das zugehörige lineare Gleichungssystem auf und notieren Sie die drei Eingabezeilen für den GTR (Koeffizienten von \(a\), \(b\), \(c\) und rechte Seite).
- Lösen Sie das LGS mit dem GTR oder dem CAS und geben Sie den Funktionsterm an.
- Berechnen Sie, an welcher Stelle das Seil am tiefsten hängt und wie hoch es dort über dem Boden ist.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Jeder der drei Punkte A, M und B liefert eine Punktbedingung \(f(x_0)=y_0\).
Hinweis zu Aufgabe b)
Setzen Sie die Punkte in den Ansatz ein. Bei A fallen \(a\) und \(b\) weg — ihr Koeffizient ist dann \(0\) und muss trotzdem in die GTR-Zeile.Aufstellen heißt: die Gleichungen vollständig notieren, noch nicht lösen.
Hinweis zu Aufgabe c)
GTR: MENU › Gleichung › F1 (SIMUL) › F2 (drei Unbekannte), Zeilen mit EXE eingeben, F1 (SOLVE). CAS: linSolve(I and II and III,{a,b,c}).
Hinweis zu Aufgabe d)
Am tiefsten Punkt hat das Seil eine waagerechte Tangente: \(f'(x)=0\).