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Querschnitt einer Sanddüne
AFB I–IIAn der Nordseeküste wird der Querschnitt einer Wanderdüne vermessen. Auf der dem Wind zugewandten Luvseite steigt die Düne vom Fuß \(F\) aus sanft an; am Fuß geht sie ohne Knick in den ebenen Strand über. Den Kamm \(K\) erreicht sie in 4 m Höhe, 8 m (waagerecht gemessen) hinter dem Fuß. Am Kamm verläuft der Querschnitt waagerecht, dahinter fällt die Leeseite steil ab.
Der Ursprung liegt im Fuß \(F\), die \(x\)-Achse verläuft entlang des Strandes in Windrichtung, 1 LE = 1 m. Der Querschnitt soll durch eine ganzrationale Funktion \(f\) vom Grad 3 beschrieben werden.
Querschnitt der Düne
- Geben Sie vier Bedingungen an, die \(f\) aufgrund der Beschreibung erfüllen muss.
- Weisen Sie nach, dass \(f(x)=-\frac{1}{64}x^3+\frac{3}{16}x^2\) alle vier Bedingungen erfüllt.
- Bestimmen Sie die Stelle, an der die Leeseite der Düne wieder das Niveau des Strandes erreicht.
- Erklären Sie, warum sich die Angabe „Die Luvseite ist bei \(x=4\) am steilsten“ als Bedingung \(f''(4)=0\) schreiben lässt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Zwei markante Punkte, an beiden eine Aussage zur Steigung. „Ohne Knick in den ebenen Strand“ und „am Kamm waagerecht“ sind Steigungsangaben.Angeben heißt: Die Gleichungen genügen — ohne Begründung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Leiten Sie \(f\) ab und setzen Sie \(x=0\) und \(x=8\) in \(f\) und \(f'\) ein. Hilfreich: \(8^3=512\), \(8^2=64\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Gesucht ist die zweite Nullstelle von \(f\). Klammern Sie \(x^2\) aus.
Hinweis zu Aufgabe d)
Die steilste Stelle ist eine Extremstelle der Steigungsfunktion \(f'\). Was gilt dort für deren Ableitung?