Vom Graphen zur Gleichung
Jede Eigenschaft des Graphen wird zu einer Gleichung für \(f\), \(f'\) oder \(f''\) an einer festen Stelle. Links steht immer die Stelle \(x_0\) in der Klammer, rechts der Wert.
- Punkt \(P(2\mid 3)\):\(f(2)=3\)
- Nullstelle 4:\(f(4)=0\)
- y-Achsenabschnitt 5:\(f(0)=5\)
- Steigung −1 bei x = 1:\(f'(1)=-1\)
- Extrempunkt \(E(2\mid 3)\):\(f(2)=3\) und \(f'(2)=0\)
- Wendepunkt \(W(1\mid 0)\):\(f(1)=0\) und \(f''(1)=0\)
- Sattelpunkt bei \(x_0\):\(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)=0\) (dazu \(f(x_0)=y_0\), wenn die Höhe bekannt ist)
- Wendetangente, Steigung m:\(f''(x_0)=0\) und \(f'(x_0)=m\)
Drei Grundformen: \(f(x_0)=y_0\) · \(f'(x_0)=m\) · \(f''(x_0)=0\)
Punkt, Nullstelle, y-Achsenabschnitt: \(P(2\mid3)\to f(2)=3\); Nullstelle 4 \(\to f(4)=0\); \(y\)-Achsenabschnitt 5 \(\to f(0)=5\).
Steigung: Steigung \(-1\) bei \(x=1\to f'(1)=-1\).
Extrempunkt: \(f(x_0)=y_0\) und \(f'(x_0)=0\).
Wendepunkt: \(f(x_0)=y_0\) und \(f''(x_0)=0\).
Sattelpunkt: \(f'(x_0)=0\) und \(f''(x_0)=0\).
Eine Eigenschaft, zwei Bedingungen
- Punkt + Ableitung:Hoch-, Tief- und Wendepunkte mit Koordinaten liefern je zwei Bedingungen, ein Sattelpunkt sogar drei.
- Symmetrie:liefert keine Gleichung, sondern verkleinert den Ansatz: achsensymmetrisch, Grad 4 → \(f(x)=ax^4+bx^2+c\); punktsymmetrisch, Grad 3 → \(f(x)=ax^3+cx\).
Die Karten stammen aus verschiedenen Steckbriefen. Lege jede Karte in das Fach, zu dem ihre Gleichung gehört: Karte anklicken und dann ein Fach anklicken — oder ziehen. Mit der Tastatur: Karte mit Enter aufnehmen, mit 1–4 ablegen, 0 legt zurück.
Kartenstapel
Legt die aufgenommene Karte in dieses Fach.
Halte fest: Die Höhe eines besonderen Punktes gehört immer zu \(f\), „waagerecht“ und jede Steigung zu \(f'\), „Wendestelle“ zu \(f''\). Farbig markierte Karten gehören zur selben Eigenschaft — sie ergeben zwei Gleichungen.
Mehrere Bedingungen: Hoch-, Tief- und Wendepunkte mit Koordinaten liefern je zwei Bedingungen, ein Sattelpunkt drei.
Zuordnung: Höhe eines Punktes gehört zu \(f\), „waagerecht“ und Steigungen zu \(f'\), „Wendestelle“ zu \(f''\).
Symmetrie: Sie liefert keine Gleichung, sondern verkleinert den Ansatz.
Allgemeine Hinweise
Die Höhe nicht vergessen
Aus „Hochpunkt \(H(1\mid 4)\)“ nur \(f'(1)=0\) zu notieren, verschenkt eine Bedingung: \(f(1)=4\) gehört dazu.
Stelle in die Klammer
In \(f'(2)=0\) ist \(2\) die Stelle \(x_0\) und \(0\) die Steigung. Wer \(f'(0)=2\) schreibt, beschreibt eine ganz andere Eigenschaft.
Symmetrie zuerst
Prüfe vor dem Aufstellen, ob der Graph symmetrisch ist. Der kleinere Ansatz spart Unbekannte und Gleichungen.