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Ein neuer Seedeich
AFB I–IIEin Küstenschutzamt plant den Querschnitt eines neuen Seedeichs. Vom seeseitigen Deichfuß \(A\) aus steigt die Böschung zunächst mit 20 % an. 20 m weiter (waagerecht gemessen) erreicht sie im Punkt \(B\) die Deichkrone, die 4 m über dem Deichfuß liegt und waagerecht verläuft. Die Böschung soll in \(B\) ohne Knick in die Krone übergehen.
Die seeseitige Böschung zwischen \(A\) und \(B\) soll durch eine ganzrationale Funktion \(f\) vom Grad 3 modelliert werden.
Querschnitt des geplanten Deichs
- Zeichnen Sie in die Abbildung ein Koordinatensystem mit Ursprung im Deichfuß \(A\) und der Einheit 1 LE = 1 m ein. Beschriften Sie die Punkte \(A\) und \(B\) mit ihren Koordinaten.
- Stellen Sie die Angaben des Textes als vier Bedingungen an \(f\) dar.
- Bestätigen Sie, dass \(f(x)=-0{,}0005x^3+0{,}01x^2+0{,}2x\) diese Bedingungen erfüllt.
- Berechnen Sie den Neigungswinkel der Böschung am Deichfuß und die größte Steigung der Böschung in Prozent.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Die \(x\)-Achse verläuft waagerecht entlang des Bodens in Richtung Landseite, die \(y\)-Achse senkrecht nach oben durch \(A\).Einzeichnen heißt: in die vorgegebene Darstellung eintragen — Achsen mit Pfeil und Beschriftung.
Hinweis zu Aufgabe b)
Zu jedem der beiden Punkte gehören eine Höhe und eine Steigung. Rechnen Sie 20 % in \(m\) um.
Hinweis zu Aufgabe c)
\(f'(x)=-0{,}0015x^2+0{,}02x+0{,}2\). Setzen Sie \(x=0\) und \(x=20\) ein; \(20^3=8000\).
Hinweis zu Aufgabe d)
Winkel über \(m=\tan\alpha\) (Rechner im Gradmaß). Die größte Steigung liegt an der Wendestelle: \(f''(x)=0\).