Das Koordinatensystem legen
Ein Sachtext beschreibt eine Form mit Worten. Bevor daraus Bedingungen werden, legst du selbst ein Koordinatensystem hinein.
- Einheit:sinnvoll festlegen und notieren, z. B. 1 LE = 1 m.
- Ursprung:an eine markante Stelle — Anfang, Fußpunkt, tiefste Stelle; die \(x\)-Achse meist entlang des Bodens.
- „beginnt/endet auf Höhe …“:ein Punkt → \(f(x_0)=y_0\)
- „waagerecht“, „höchste/tiefste Stelle“:\(f'(x_0)=0\)
- „ohne Knick“:gleiche Steigung wie das anschließende Stück → \(f'(x_0)=m\)
- „Übergang Links- in Rechtskurve“:Wendepunkt → \(f''(x_0)=0\)
Die Rampe beginnt waagerecht auf dem Podest (Kante A) und läuft ohne Knick in den ebenen Boden aus (B). Ziehe den Ursprung O und beobachte die Bedingungen. Ziehe dann A oder B — mit der Tastatur: Punkt mit Tab wählen, Pfeiltasten verschieben um 0,5 m.
Halte fest: Verschiebst du nur den Ursprung, bleibt die Rampe dieselbe — es ändern sich nur die Zahlen in den Bedingungen. Ein Ursprung an einer markanten Stelle erzeugt Nullen und macht das Rechnen leichter.
Koordinatensystem: Man legt selbst ein Koordinatensystem mit sinnvoller Einheit und markantem Ursprung (meist die \(x\)-Achse entlang des Bodens) fest.
Übersetzen: „beginnt auf Höhe …“: \(f(x_0)=y_0\); „waagerecht“, „höchste Stelle“: \(f'(x_0)=0\); „ohne Knick“: gleiche Steigung \(f'(x_0)=m\); „Übergang Links- in Rechtskurve“: \(f''(x_0)=0\).
Ursprung: Seine Lage ändert nur die Zahlen, nicht die Form; an markanter Stelle entstehen Nullen.
Steigung in Prozent und Winkeln
- Prozent:\(p\,\%\) Steigung heißt \(p\) Meter Höhenunterschied auf 100 Meter waagerecht: 8 % → \(m=0{,}08\).
- Winkel:Neigungswinkel \(\alpha\) gegen die Waagerechte → \(m=\tan\alpha\).
- Gefälle:Geht es in \(x\)-Richtung bergab, ist \(m\) negativ.
Steigung: \(m=\dfrac{p}{100}\) und \(m=\tan\alpha\)
Prozent: \(p\,\%\) Steigung heißt \(p\) m Höhenunterschied auf 100 m waagerecht.
Winkel: Der Neigungswinkel \(\alpha\) gegen die Waagerechte ergibt \(m=\tan\alpha\).
Gefälle: Geht es in \(x\)-Richtung bergab, ist \(m\) negativ.
Allgemeine Hinweise
Ursprung klug wählen
Liegt der Ursprung in einem markanten Punkt, entstehen Bedingungen wie \(f(0)=3\) und \(f'(0)=0\) — sie liefern sofort \(d=3\) und \(c=0\).
Nicht Prozent gleich Grad
100 % Steigung sind \(45^\circ\), nicht \(90^\circ\). Prozent und Winkel immer über \(m\) umrechnen.
Koordinatensystem angeben
Ohne Ursprung und Einheit sind die Bedingungen nicht nachvollziehbar. Notiere beides oder skizziere es.