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Ein Wall gegen den Verkehrslärm
AFB I–IIZwischen einer Landstraße und einem Wohngebiet soll ein Lärmschutzwall aus Erde aufgeschüttet werden. Im Querschnitt beginnt der Wall am Straßenrand im Punkt \(A(0\mid 0)\) und endet auf der Wohnseite im Punkt \(B(16\mid 0)\) (Angaben in m). Die Wallkrone \(K(10\mid 4{,}5)\) liegt nicht in der Mitte: Zur Straße hin steigt der Wall flach an, zur Wohnseite fällt er steil ab. Der Querschnitt soll durch den Graphen einer ganzrationalen Funktion \(f\) beschrieben werden.
Querschnitt des Lärmschutzwalls
- Geben Sie vier Bedingungen an, die sich aus der Beschreibung und der Skizze für \(f\) ergeben.
- Begründen Sie, dass ein Ansatz vom Grad 3 geeignet ist und eine Parabel nicht ausreicht.
- Stellen Sie mit dem Ansatz \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) das lineare Gleichungssystem für \(a,\ b,\ c,\ d\) auf.
- Weisen Sie nach, dass \(f(x)=-0{,}005x^3+0{,}055x^2+0{,}4x\) alle vier Bedingungen erfüllt.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Zwei Fußpunkte, ein Punkt der Krone — und was bedeutet „höchster Punkt“ für die Steigung?
Hinweis zu Aufgabe b)
Zählen Sie Bedingungen und Unbekannte. Wo läge der Scheitel einer Parabel durch \(A\) und \(B\)?
Hinweis zu Aufgabe c)
Notieren Sie zuerst \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\) und setzen Sie die \(x\)-Werte in Klammern ein.Aufstellen heißt: vier Gleichungen notieren und nummerieren — lösen ist hier nicht verlangt.
Hinweis zu Aufgabe d)
Berechnen Sie \(f(0)\), \(f(16)\), \(f(10)\) und \(f'(10)\) mit \(f'(x)=-0{,}015x^2+0{,}11x+0{,}4\).