Wie viele Bedingungen?
Ein Ansatz vom Grad \(n\) hat \(n+1\) unbekannte Koeffizienten. Um sie alle festzulegen, braucht man genauso viele Bedingungen, die sich nicht gegenseitig wiederholen.
- Grad 2:\(f(x)=ax^2+bx+c\) — drei Unbekannte, drei Bedingungen.
- Grad 3:\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) — vier Unbekannte, vier Bedingungen.
- Umgekehrt:Die Zahl der Bedingungen bestimmt den Grad: vier Bedingungen → Ansatz vom Grad 3.
- Unabhängig:Jede Bedingung muss eine neue Information bringen. „Hochpunkt \(H(1\mid 3)\)“ und „Graph durch \((1\mid 3)\)“ liefern \(f(1)=3\) doppelt.
- Symmetrie:spart Koeffizienten: achsensymmetrisch Grad 4 → \(f(x)=ax^4+bx^2+c\) (drei statt fünf); punktsymmetrisch Grad 3 → \(f(x)=ax^3+bx\).
Grad und Bedingungen: Ein Ansatz vom Grad \(n\) hat \(n+1\) Koeffizienten und braucht \(n+1\) voneinander unabhängige Bedingungen.
Unabhängig: Jede Bedingung muss eine neue Information liefern; „Hochpunkt \(H(1\mid 3)\)“ und „Graph durch \((1\mid 3)\)“ liefern \(f(1)=3\) doppelt.
Symmetrie: Achsensymmetrisch Grad 4: \(f(x)=ax^4+bx^2+c\); punktsymmetrisch Grad 3: \(f(x)=ax^3+bx\).
Aus Bedingungen werden Gleichungen
- Notieren:Ansatz und Ableitungen: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), \(f''(x)=6ax+2b\).
- Einsetzen:\(x\)-Wert in die passende Funktion, Ergebnis rechts — es entsteht eine lineare Gleichung in \(a,b,c,d\).
- Nummerieren:Gleichungen mit I, II, III, IV untereinander — das ist das lineare Gleichungssystem (LGS).
Wähle den Grad des Ansatzes und baue das LGS aus den Bausteinen des Steckbriefs. Die Waage vergleicht Unbekannte und Gleichungen — erst wenn sie im Gleichgewicht ist und keine Zeile doppelt ist, liegt genau eine Funktion fest.
Halte fest: Ein Extrem- oder Wendepunkt liefert zwei Gleichungen, ein Punkt oder eine Steigung eine. Doppelte Informationen zählen nicht — und zu viele Bedingungen führen leicht zu einem Widerspruch.
Von der Bedingung zum LGS: Man notiert Ansatz und Ableitungen und setzt den \(x\)-Wert in die passende Funktion ein; das ergibt eine lineare Gleichung in den Koeffizienten.
LGS: Die nummerierten Gleichungen I, II, III, … bilden das lineare Gleichungssystem.
Anzahl: Ein Extrem- oder Wendepunkt liefert zwei Gleichungen, ein Punkt oder eine Steigung eine.
Allgemeine Hinweise
Erst Ableitungen notieren
Wer \(f'\) und \(f''\) zu Beginn aufschreibt, setzt jede Bedingung in die richtige Funktion ein und vergisst keinen Faktor.
Klammern um negative Stellen
\((-1)^2=1\), aber \(-1^2=-1\). Negative \(x\)-Werte immer in Klammern einsetzen.
Symmetrie ist schon eingebaut
Im Ansatz \(f(x)=ax^4+bx^2+c\) gilt \(f'(0)=0\) automatisch. Daraus entsteht nur \(0=0\) — keine neue Gleichung.