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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Wann ist das Integral schon die Fläche?
AFB IGeben Sie alle Fälle an, in denen der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse gleich dem Integral \(\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\) ist.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Gleichheit gilt nur, wenn \(f(x)\ge0\) auf dem ganzen Intervall ist. Bei \(x^3\) heben sich die Teilflächen auf (Integral 0, Fläche \(\tfrac12\)); \(\sin x\) auf \([\pi;2\pi]\) und \(x-3\) auf \([0;2]\) liegen ganz unter der x-Achse — dort ist das Integral negativ (\(-2\) bzw. \(-4\)).
Ansatz: Prüfe für jede Zeile: Liegt der Graph im ganzen Intervall über der x-Achse?
Weiter: \(e^x\) ist immer positiv; \(\cos x\ge0\) für \(0\le x\le\tfrac\pi2\); \(x-3<0\) für \(x<3\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie
AFB IBeurteilen Sie fünf Aussagen über Integral und Flächeninhalt.
Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Integral = Bilanz mit Vorzeichen, Fläche = Summe der Beträge. Eine Skizze zeigt sofort, welches von beiden gefragt ist.
Ansatz: Denke bei jeder Aussage an eine konkrete Skizze: Wo liegt der Graph, welches Vorzeichen hat das Integral?
Weiter: Doppelte Nullstelle wie bei \((x-1)^2\): Der Graph berührt die x-Achse nur.
A3
Das Verfahren in der richtigen Reihenfolge
AFB IGesucht ist der Flächeninhalt zwischen \(f(x)=x^3-4x\) und der x-Achse über \([-1;3]\). Stellen Sie das Verfahren in der richtigen Reihenfolge dar.
Ziehe die Karten in die richtige Reihenfolge — mit der Tastatur: ↑/↓ verschiebt, Shift+↑/↓ wechselt nur den Fokus.
1Nullstellen berechnen: \(x(x^2-4)=0\Rightarrow x\in\{-2;0;2\}\)
2Nur Nullstellen im Intervall behalten: \(0\) und \(2\)
3Teilintervalle bilden: \([-1;0]\), \([0;2]\), \([2;3]\)
4Stammfunktion \(F(x)=\tfrac14x^4-2x^2\) bilden und die drei Teilintegrale berechnen
5Beträge der Teilintegrale addieren
Der häufigste Stolperstein ist Schritt 2: \(-2\) ist zwar Nullstelle, liegt aber außerhalb von \([-1;3]\) und spielt keine Rolle.
Ansatz: Ohne Nullstellen kennt man die Teilintervalle nicht.
Weiter: Beträge nimmt man erst ganz am Ende — von jedem Teilintegral einzeln.