Integral ist nicht gleich Fläche
Das Integral zählt Flächen unter der \(x\)-Achse negativ — ein Flächeninhalt ist aber nie negativ.
- Orientiert:Teilflächen über der \(x\)-Achse zählen positiv, unter der \(x\)-Achse negativ.
- Aufheben:wechselt \(f\) im Intervall das Vorzeichen, heben sich die Teilflächen ganz oder teilweise auf.
- Flächeninhalt:\(A\ge0\) — die Summe der Beträge aller Teilflächen.
- Gleichheit:\(A=\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\) nur, wenn \(f(x)\ge0\) auf ganz \([a;b]\).
Klicke jede Teilfläche zwischen den Nullstellen an und markiere sie als \(+\) oder \(-\) (Tastatur: Tab, Enter). Vergleiche dann Integral und Flächeninhalt und klappe die negativen Teilflächen nach oben.
Halte fest: Das Integral ist die Summe der Teilflächen mit Vorzeichen, der Flächeninhalt die Summe ihrer Beträge — erst nach dem Hochklappen liegt alles über der \(x\)-Achse.
Integral und Fläche: Das Integral zählt Flächen unter der \(x\)-Achse negativ, ein Flächeninhalt ist aber nie negativ.
Flächeninhalt: \(A\ge0\) ist die Summe der Beträge aller Teilflächen.
Gleichheit: \(A=\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx\) nur, wenn \(f(x)\ge0\) auf \([a;b]\) ist.
Aufheben: Wechselt \(f\) das Vorzeichen, heben sich Teilflächen im Integral ganz oder teilweise auf.
Das Verfahren
Vier Schritte führen sicher zum Flächeninhalt zwischen Graph und \(x\)-Achse.
- 1. Nullstellen:\(f(x)=0\) lösen, nur Nullstellen in \([a;b]\) behalten.
- 2. Teilintervalle:\(a\), Nullstellen und \(b\) der Größe nach ordnen.
- 3. Teilintegrale:jedes einzeln mit dem Hauptsatz \(\big[F(x)\big]\) berechnen.
- 4. Beträge addieren:\(A=\Big|\displaystyle\int_a^{x_1}f(x)\,\mathrm dx\Big|+\Big|\displaystyle\int_{x_1}^{b}f(x)\,\mathrm dx\Big|\).
- Ohne Grenzen:„Fläche, die der Graph mit der \(x\)-Achse einschließt“ — Grenzen sind die äußeren Nullstellen.
Nullstelle \(x_1\) in \([a;b]\): \(A=\Big|\displaystyle\int_a^{x_1}f(x)\,\mathrm dx\Big|+\Big|\displaystyle\int_{x_1}^{b}f(x)\,\mathrm dx\Big|\)
Vier Schritte: Nullstellen in \([a;b]\) bestimmen, Teilintervalle ordnen, Teilintegrale mit dem Hauptsatz berechnen, Beträge addieren.
Ohne Grenzen: Bei „Fläche, die der Graph mit der \(x\)-Achse einschließt“ sind die äußeren Nullstellen die Grenzen.
Allgemeine Hinweise
Nie über Nullstellen hinweg
Erst an den Nullstellen teilen, dann Beträge nehmen. \(\Big|\displaystyle\int_0^3(x^2-2x)\,\mathrm dx\Big|\) ist \(0\), die Fläche aber \(\tfrac83\).
Doppelte Nullstellen
Berührt der Graph die \(x\)-Achse nur, wechselt \(f\) dort nicht das Vorzeichen — ein Teilen schadet nicht, ist aber nicht nötig.
Erst skizzieren
Eine grobe Skizze des Graphen zeigt sofort, welche Teilflächen unter der \(x\)-Achse liegen und negativ herauskommen müssen.