Der Hauptsatz: Übungen – Mathe Grundkurs

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Übungsaufgaben

Dreißig Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen dir die gestuften Tipps.

Was weißt du über I₂?

AFB I

Gegeben ist eine stetige Funktion \(f\) und ihre Integralfunktion \(I_2(x)=\int_2^x f(t)\,\mathrm dt\). Geben Sie alle wahren Aussagen an.

Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.

\(I_2\) misst orientierte Flächen — links von 2 oder unter der x-Achse wird \(I_2(x)\) negativ. Die untere Grenze verschiebt die Integralfunktion nur um eine Konstante: \(I_0(x)=I_2(x)+\int_0^2 f(t)\,\mathrm dt\). Die Ableitung bleibt \(f(x)\) — ein \(-f(2)\) entsteht nicht, denn die Konstante fällt weg.

Ansatz: Welchen Flächeninhalt hat der „Streifen“ von 2 bis 2? Und was sagt der Hauptsatz über \(I_a'\)?

Weiter: Teste mit einem Beispiel: \(f(t)=1\) liefert \(I_2(x)=x-2\) und \(I_0(x)=x\).

Stimmt's? — Fünferserie

AFB I

Entscheiden Sie über fünf Aussagen zum Rechnen mit dem Hauptsatz.

Fünf Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.

Aussage 1 von 5

Oben minus unten, \(C\) weglassen, gleiche Grenzen ergeben 0 — mehr Regeln braucht das Rechnen mit dem Hauptsatz nicht.

Ansatz: Schreibe dir die Merkformel \(\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a)\) daneben und prüfe jede Aussage daran.

Weiter: \(\cos\pi=-1\) und \(\cos0=1\). Was passiert mit \(+C\) beim Subtrahieren?

Lückentext: die Streifen-Begründung

AFB I

Nennen Sie die fehlenden Fachwörter der geometrischen Begründung — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Rückt die obere Grenze von \(x\) nach \(x+h\), wächst \(I_a\) um einen schmalen . Für kleines \(h\) ist er fast ein mit der Höhe \(f(x)\) und der Breite \(h\). Der \(\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}\) strebt für \(h\to0\) deshalb gegen \(f(x)\). Also ist \(I_a\) eine von \(f\), und jede andere unterscheidet sich von \(I_a\) nur um eine .

„Tangente“ bleibt übrig: Sie tritt erst auf, wenn man den Grenzwert als Steigung deutet — der Zuwachs selbst ist ein Flächenstück, keine Gerade.

Ansatz: Welche Figur liegt zwischen \(x\) und \(x+h\) unter dem Graphen?

Weiter: Ein Quotient aus Zuwachs und Schrittweite heißt …. Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine ….