Der Hauptsatz

Warum Stammfunktionen Flächen liefern

Du kennst das Integral als Grenzwert von Produktsummen und die Stammfunktionen — der Hauptsatz verbindet beides.

Integralfunktion:\(I_a(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\) — orientierter Flächeninhalt von der festen Grenze \(a\) bis zur beweglichen Grenze \(x\).
Zuwachs:rückt \(x\) um \(h\) weiter, kommt ein schmaler Streifen hinzu: \(I_a(x+h)-I_a(x)=\Delta A\).
Fast-Rechteck:für kleines \(h\) ist der Streifen fast ein Rechteck mit Höhe \(f(x)\): \(\Delta A\approx f(x)\cdot h\).
Grenzwert:\(\dfrac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}\approx f(x)\) wird für \(h\to0\) exakt: \(I_a'(x)=f(x)\) (für stetiges \(f\)).
Folgerung:\(I_a\) ist eine Stammfunktion von \(f\).

Ziehe \(x\) und schneide den violetten Streifen mit „Streifen umlegen“ heraus. Verkleinere dann \(h\): In der Lupe wird der Streifen zum Rechteck \(f(x)\cdot h\), unten nähert sich die Sekante der grünen Tangente.

Halte fest: Der Zuwachs \(\Delta A\) der Integralfunktion ist fast \(f(x)\cdot h\) — geteilt durch \(h\) bleibt im Grenzwert \(f(x)\), also ist die Steigung von \(I_0\) an jeder Stelle gleich \(f(x)\).

Herleitung:

\(F(x)=I_a(x)+C\)

Stammfunktion

Zwei Stammfunktionen von \(f\) unterscheiden sich nur um eine Konstante.

\(F(a)=I_a(a)+C=0+C\)

\(x=a\)

\(I_a(a)=\displaystyle\int_a^a f(t)\,\mathrm dt=0\), also \(C=F(a)\).

\(F(b)=I_a(b)+F(a)\)

\(x=b\)

\(x=b\) und \(C=F(a)\) einsetzen.

\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=I_a(b)=F(b)-F(a)\)

Ergebnis

Nach \(I_a(b)\) aufgelöst.

Merke

Hauptsatz: \(I_a'(x)=f(x)\) und \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=F(b)-F(a)\) für jede Stammfunktion \(F\) von \(f\)

Integralfunktion: \(I_a(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm dt\) ist der orientierte Flächeninhalt von \(a\) bis \(x\).

Idee: Der Zuwachs \(\Delta A\approx f(x)\cdot h\) wird durch \(h\) geteilt und liefert im Grenzwert \(I_a'(x)=f(x)\); \(I_a\) ist also eine Stammfunktion von \(f\).

Integrale berechnen

Mit dem Hauptsatz wird aus dem Grenzwert eine kurze Rechnung — ganz ohne Streifen.

Schreibweise:\(\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)\) — Stammfunktion in eckigen Klammern, Grenzen daneben.
Schritt 1:Stammfunktion \(F\) mit den bekannten Regeln bilden; die Konstante \(C\) weglassen.
Schritt 2:obere Grenze einsetzen, untere Grenze einsetzen, subtrahieren.
Ergebnis:orientierter Flächeninhalt — negativ, wenn mehr Fläche unter der \(x\)-Achse liegt.

Merke

Integral berechnen: \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)\)

Vorgehen: Stammfunktion \(F\) bilden (ohne \(C\)), obere und untere Grenze einsetzen, subtrahieren.

Ergebnis: Orientierter Flächeninhalt, negativ, wenn mehr Fläche unter der \(x\)-Achse liegt.

Allgemeine Hinweise

Oben minus unten

Immer \(F(b)-F(a)\) mit der oberen Grenze zuerst. Vertauscht man die Reihenfolge, kippt das Vorzeichen.

Klammer um F(a)

Die untere Grenze wird als Ganzes abgezogen: \(-\big(\tfrac13+1\big)\), nicht \(-\tfrac13+1\).

C darf fehlen

\(\big(F(b)+C\big)-\big(F(a)+C\big)=F(b)-F(a)\) — jede Stammfunktion liefert dasselbe Ergebnis, also die einfachste nehmen.