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Der Hauptsatz

Solarstrom über den Tag und ein Pumpspeicher im Sechs-Stunden-Takt — Flächen als Energie und Wasser.

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Solaranlage auf dem Schuldach

AFB I–II

Die Leistung der Photovoltaikanlage auf einem Schuldach wird an einem sonnigen Sommertag beschrieben durch

\(P(t)=-\tfrac14t^2+3t,\quad0\le t\le12,\)

mit \(t\) in Stunden nach 6:00 Uhr und \(P(t)\) in Kilowatt (kW). Die von 6:00 Uhr bis zum Zeitpunkt \(x\) erzeugte Energie in Kilowattstunden (kWh) ist \(E(x)=\int_0^x P(t)\,\mathrm dt\) (Material M1).

M1 Leistung der Photovoltaikanlage
24681012246810t in hP(t) in kWP
Die Fläche unter dem Graphen entspricht der erzeugten Energie.
  1. Lesen Sie aus Material M1 die maximale Leistung und die zugehörige Uhrzeit ab. 2 BE
  2. ohne HilfsmittelBerechnen Sie die an diesem Tag insgesamt erzeugte Energie. 4 BE
  3. Erläutern Sie anhand eines schmalen Flächenstreifens unter dem Graphen von \(P\), warum \(E'(x)=P(x)\) gilt. 3 BE
  4. GTR/CASDie Schule verbraucht bis zum Unterrichtsende \(30\,\mathrm{kWh}\). Ermitteln Sie die Uhrzeit, zu der die Anlage seit 6:00 Uhr genauso viel Energie erzeugt hat. 3 BE

Insgesamt 12 BE.

Hinweise

Hinweis zu Aufgabe a)
Die Parabel ist symmetrisch zu ihrem Scheitel. \(t=0\) entspricht 6:00 Uhr.„Ablesen“: Wert und Uhrzeit direkt aus dem Diagramm entnehmen, ohne Rechnung.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\int_0^{12}P(t)\,\mathrm dt=\big[F(t)\big]_0^{12}\) mit einer Stammfunktion \(F\). Einheit: kW · h = kWh.
Hinweis zu Aufgabe c)
Betrachte den Zuwachs \(E(x+h)-E(x)\) für kleines \(h\): Welche Form hat der Streifen, welchen Inhalt hat er ungefähr?„Erläutern“: die Begründung aus dem Unterricht (Streifen → Rechteck → Grenzwert) am Beispiel der Leistung darstellen.
Hinweis zu Aufgabe d)
Stelle \(E(x)\) integralfrei auf und löse \(E(x)=30\) mit dem GTR, z. B. als Schnittpunkt von Y1 = \(E(x)\) und Y2 = 30. Nur Lösungen in \([0;12]\) sind sinnvoll.