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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Zuordnen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt sofort Rückmeldung; wenn Sie nicht weiterkommen, helfen die gestuften Tipps.
A1
Welcher Faktor entsteht?
AFB IBei \(f(x)=a\cdot e^{mx+n}\) gilt \(f'(x)=m\cdot f(x)\). Ordnen Sie jede Funktion dem passenden Zusammenhang zu.
Ziehen Sie jede Karte in den passenden Korb — oder wählen Sie sie mit Enter aus und drücken dann die Ziffer des Korbs (0 legt sie zurück).
1f′ = f
2f′ = 2 · f
3f′ = −f
4f′ = 0,5 · f
Es zählt nur die Steigung \(m\) der inneren Funktion. Der Vorfaktor \(a\) und der Summand \(n\) im Exponenten ändern den Zusammenhang nicht. Bei \(e^{2-x}\) ist \(m=-1\), bei \(e^{\frac x2}\) ist \(m=\frac12\).
Ansatz: Lesen Sie den Faktor vor \(x\) im Exponenten ab.Warum? Das ist die innere Ableitung \(m\).
Weiter: In \(2-x\) steht vor \(x\) eine \(-1\); \(\frac x2=0{,}5\,x\).
A2
Stimmt's? — Fünferserie zur Kettenregel
AFB INennen Sie zu jeder Ableitung, ob sie stimmt.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann starten Sie die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Merke: Äußere Ableitung an der inneren Stelle mal innere Ableitung \(m\). Das gilt für jede äußere Funktion, auch für Potenzen wie \((3x-2)^{4}\).
Ansatz: Bestimmen Sie jeweils \(m\), die Ableitung der inneren Funktion.
Weiter: Ein Minus vor \(x\) heißt \(m=-1\) — das darf nicht verloren gehen.
A3
Steigung an einer Stelle
AFB IBerechnen Sie für \(f(x)=3e^{2x-4}\) die Steigung \(f'(1{,}5)\) auf zwei Nachkommastellen.
Rechnen Sie selbst und tragen Sie das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
\(f'(x)=3\cdot2\cdot e^{2x-4}=6e^{2x-4}\). \(f'(1{,}5)=6e^{-1}\approx2{,}21\). Wer die innere Ableitung vergisst, erhält \(3e^{-1}\approx1{,}10\) — genau die Hälfte.
Ansatz: Vorfaktor mal innere Ableitung: \(3\cdot2\).
Weiter: Exponent an der Stelle \(1{,}5\): \(2\cdot1{,}5-4=-1\).