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Die Kettenregel

e²ˣ ist eˣ im Zeitraffer — doch woher kommt beim Ableiten die 2?

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Innere und äußere Funktion

In \(f(x)=e^{2x-1}\) steckt eine Funktion in einer anderen: Erst wird \(2x-1\) berechnet, dann davon \(e\) hoch.

  • Verkettung:\(f(x)=u\bigl(v(x)\bigr)\) mit innerer Funktion \(v(x)=2x-1\) und äußerer Funktion \(u(z)=e^{z}\).
  • Linear innen:hier ist die innere Funktion immer linear: \(v(x)=m\cdot x+n\) mit \(v'(x)=m\).
  • Graph:\(e^{2x}\) ist der in \(x\)-Richtung auf die Hälfte gestauchte Graph von \(e^{x}\) — jede Tangente wird doppelt so steil.
  • Regel:äußere Ableitung an der inneren Stelle mal innere Ableitung: \(\bigl(e^{mx+n}\bigr)'=e^{mx+n}\cdot m\).
  • Beispiele:\(\bigl(e^{3x}\bigr)'=3e^{3x}\), \(\bigl(e^{-0{,}5x}\bigr)'=-0{,}5e^{-0{,}5x}\), \(\bigl((4x-1)^{2}\bigr)'=8\,(4x-1)\).

Baue die Ableitung aus Bausteinen: Wähle einen Faktor und einen Term (Klick oder Enter), dann „Prüfen“. Die Maschine zeigt innere und äußere Funktion, der Graph vergleicht deinen Bau mit der richtigen Ableitung.

Ableitung zusammenbauen

f′(x) = ·

Halte fest: Der Term der äußeren Funktion bleibt beim Ableiten unverändert, der Faktor davor ist Vorfaktor mal innere Ableitung \(m\).

Merke

Verkettung: \(f(x)=u\bigl(v(x)\bigr)\) mit innerer Funktion \(v\) und äußerer Funktion \(u\); hier ist \(v(x)=m\cdot x+n\) linear mit \(v'(x)=m\).

Regel: Äußere Ableitung an der inneren Stelle mal innere Ableitung.

\(\bigl(e^{mx+n}\bigr)'=m\cdot e^{mx+n}\)

Graph: \(e^{2x}\) ist der in \(x\)-Richtung auf die Hälfte gestauchte Graph von \(e^{x}\).

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Warum der innere Faktor entsteht

Der Differenzenquotient zeigt, woher der Faktor \(m\) kommt — mit dem Wissen über die Basis e.

Herleitung:

\(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{e^{m(x+h)+n}-e^{mx+n}}{h}\)
| Ansatz
Differenzenquotient für \(f(x)=e^{mx+n}\).
\(=e^{mx+n}\cdot\dfrac{e^{mh}-1}{h}\)
| ausklammern
Potenzgesetz: \(e^{mx+mh+n}=e^{mx+n}\cdot e^{mh}\).
\(=e^{mx+n}\cdot m\cdot\dfrac{e^{mh}-1}{mh}\)
| erweitern mit \(m\)
Der letzte Bruch hat die Form \(\frac{e^{s}-1}{s}\) mit \(s=mh\).
\(f'(x)=m\cdot e^{mx+n}\)
Ergebnis
Für \(h\to0\) geht auch \(s\to0\) und \(\frac{e^{s}-1}{s}\to1\), weil \((e^{x})'=e^{x}\) an der Stelle \(0\) die Steigung \(1\) hat.
  • Wachstum:\(f(t)=a\cdot e^{kt}\) hat \(f'(t)=k\cdot a\cdot e^{kt}=k\cdot f(t)\) — genau das Gesetz des exponentiellen Wachstums.
  • Andere Außen:die Regel gilt für jede äußere Funktion \(g\): \(f(x)=g(mx+n)\Rightarrow f'(x)=m\cdot g'(mx+n)\).
  • Zweite Ableitung:\(\bigl(e^{-2x}\bigr)''=\bigl(-2e^{-2x}\bigr)'=4e^{-2x}\) — der Faktor kommt bei jedem Ableiten dazu.
Merke

Kettenregel (lineare innere Funktion): \(f(x)=g(mx+n)\ \Rightarrow\ f'(x)=m\cdot g'(mx+n)\)

Speziell: \(\bigl(e^{mx+n}\bigr)'=m\cdot e^{mx+n}\)

Wachstum: \(f(t)=a\cdot e^{kt}\) hat \(f'(t)=k\cdot f(t)\).

Mehrfach: Bei jedem Ableiten kommt der Faktor \(m\) dazu.

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Allgemeine Hinweise

Innere Ableitung nicht vergessen

\(\bigl(e^{-x}\bigr)'=-e^{-x}\), nicht \(e^{-x}\). Das Minuszeichen im Exponenten ist die häufigste Fehlerquelle.

Keine Potenzregel im Exponenten

\(\bigl(e^{3x}\bigr)'\neq3x\cdot e^{3x-1}\). Die Potenzregel gilt für \(x^{n}\), nicht für Potenzen mit variablem Exponenten.

Schnelle Kontrolle

Bei \(f(x)=a\cdot e^{kx}\) muss \(f'(x)=k\cdot f(x)\) herauskommen. Passt der Faktor nicht, stimmt die Ableitung nicht.

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