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Tangenten an eine verschobene e-Funktion
AFB I–IIGegeben ist die Funktion \(f(x)=e^{2x-2}\). Ihr Graph verläuft durch den Punkt \(P(1\,|\,1)\).
Graph von f(x) = e²ˣ⁻² mit Tangente t im Punkt P(1 | 1)
- Geben Sie \(f'(x)\) und \(f''(x)\) an.
- Stellen Sie die Gleichung der Tangente \(t\) an den Graphen von \(f\) im Punkt \(P\) auf.
- Zeigen Sie, dass die Tangente an der Stelle \(a\) die x-Achse stets bei \(x=a-\frac12\) schneidet.
- Bestimmen Sie exakt und gerundet die Stelle, an der der Graph von \(f\) die Steigung 1 hat.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Kettenregel mit innerer Ableitung \(m=2\); bei jedem Ableiten kommt der Faktor erneut hinzu.Angeben: ohne Rechnung nennen.
Hinweis zu Aufgabe b)
Punkt-Steigungs-Form: \(y=f'(1)\,(x-1)+f(1)\).
Hinweis zu Aufgabe c)
Allgemeine Tangente \(y=2e^{2a-2}(x-a)+e^{2a-2}\) gleich null setzen; \(e^{2a-2}\) ausklammern.
Hinweis zu Aufgabe d)
Gleichung \(2e^{2x-2}=1\) mit dem ln lösen. CAS: solve\((2\cdot e^{2x-2}=1,\,x)\).