Zwei Urnen, ein Baum
Zweimal ziehen aus derselben Urne: Nur die zweite Stufe unterscheidet die beiden Verfahren.
- Mit Zurücklegen:Inhalt bleibt gleich — die Äste der 2. Stufe sind dieselben wie die der 1. Stufe.
- Ohne Zurücklegen:eine Kugel weniger — Nenner um 1 kleiner, gezogene Farbe um 1 kleiner.
- Gleichzeitig ziehen:wird wie „ohne Zurücklegen“ gerechnet.
Stelle die Urne ein und schalte zwischen den Ansichten um. In „Überlagert“ stehen an jedem Ast beide Werte, an jedem Pfadende zwei Balken: blau = mit, orange = ohne Zurücklegen.
Halte fest: Die erste Stufe ist bei beiden Verfahren gleich. Ohne Zurücklegen ändern sich die Äste der zweiten Stufe — umso weniger, je größer die Urne ist.
Zweimal ziehen: Nur die zweite Stufe unterscheidet die beiden Verfahren.
Mit Zurücklegen: Der Inhalt bleibt gleich, die Äste der zweiten Stufe sind dieselben wie in der ersten.
Ohne Zurücklegen: Es ist eine Kugel weniger in der Urne, der Nenner ist um 1 kleiner und die gezogene Farbe hat eine Kugel weniger.
Gleichzeitig ziehen: Das wird wie „ohne Zurücklegen“ gerechnet.
Wann ist der Unterschied klein?
- Urne 3 rot, 2 blau:mit: \(P(rr)=\tfrac35\cdot\tfrac35=0{,}36\) — ohne: \(P(rr)=\tfrac35\cdot\tfrac24=0{,}30\).
- Urne 30 rot, 20 blau:mit: \(0{,}36\) — ohne: \(\tfrac{30}{50}\cdot\tfrac{29}{49}\approx0{,}355\).
- Große Urne:eine gezogene Kugel ändert den Inhalt kaum — „ohne“ ist dann fast „mit“.
- Anwendung:Umfragen und Stichproben aus großen Mengen rechnet man deshalb meist wie mit Zurücklegen.
Zweimal Rot: Die Urne enthält \(n\) Kugeln, davon \(r\) rote.
\(P_{\text{mit}}=\dfrac{r}{n}\cdot\dfrac{r}{n}\qquad P_{\text{ohne}}=\dfrac{r}{n}\cdot\dfrac{r-1}{n-1}\)
Große Urne: Eine gezogene Kugel ändert den Inhalt kaum, „ohne“ ist dann fast „mit“.
Anwendung: Stichproben aus großen Mengen rechnet man deshalb meist wie mit Zurücklegen.
Allgemeine Hinweise
Beide Zahlen verringern
Ohne Zurücklegen sinkt nach Rot der Zähler bei Rot und der Nenner: \(\tfrac24\), nicht \(\tfrac25\) oder \(\tfrac34\).
Summenprobe
Die Äste an jedem Knoten ergeben auch ohne Zurücklegen zusammen 1: \(\tfrac24+\tfrac24=1\).
Ausblick Binomialverteilung
„Mit Zurücklegen“ heißt: jede Stufe hat dieselbe Wahrscheinlichkeit — genau das braucht die Bernoulli-Kette.