Der Schwerpunkt der Verteilung
Der Erwartungswert ist das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der Werte von \(X\).
- Gewichten:jeden Wert \(x_i\) mit seiner Wahrscheinlichkeit \(P(X=x_i)\) malnehmen.
- Addieren:alle Produkte addieren — das ergibt \(\mu=E(X)\).
- Bild:stellt man das Histogramm auf eine Wippe, liegt der Gleichgewichtspunkt genau bei \(\mu\).
Die Säulen stehen auf einer Wippe. Verschiebe den Keil (ziehen oder Pfeiltasten, mit Umschalt fein), bis die Libelle oben rechts „waagerecht“ meldet. Lies dann die Stelle ab und vergleiche mit „Nachrechnen“.
Halte fest: Der Erwartungswert ist der Gleichgewichtspunkt der Verteilung. Er muss kein möglicher Wert von \(X\) sein — und ein seltener, großer Wert zieht ihn weit zu sich.
Erwartungswert: Das mit den Wahrscheinlichkeiten gewichtete Mittel der Werte von \(X\): jeden Wert \(x_i\) mit \(P(X=x_i)\) malnehmen und addieren.
Bezeichnung: \(\mu=E(X)\)
Deutung: Er ist der Gleichgewichtspunkt des Histogramms, muss kein möglicher Wert von \(X\) sein und wird von seltenen großen Werten weit gezogen.
Berechnen und im Sachkontext deuten
Tombola: Ein Los kostet 2 €. Mit 15 % gewinnt man 5 €, mit 5 % 20 €. \(X\) = Reingewinn.
| \(x_i\) in € | \(-2\) | \(3\) | \(18\) |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(0{,}80\) | \(0{,}15\) | \(0{,}05\) |
- Rechnen:\(E(X)=-2\cdot0{,}80+3\cdot0{,}15+18\cdot0{,}05=-0{,}25\).
- Deuten:„Auf lange Sicht verliert man pro Los durchschnittlich 25 Cent.“
- Einheit:\(E(X)\) hat dieselbe Einheit wie \(X\) — hier Euro.
- Nicht deuten als:„Man verliert bei jedem Los 25 Cent.“ — kein einzelnes Los endet mit \(-0{,}25\) €.
Erwartungswert: \(E(X)=\mu=x_1\cdot P(X=x_1)+x_2\cdot P(X=x_2)+\ldots+x_n\cdot P(X=x_n)\)
Einheit: \(E(X)\) hat dieselbe Einheit wie \(X\).
Deuten: Er beschreibt den Durchschnitt auf lange Sicht, z. B. „pro Los verliert man im Mittel 25 Cent“.
Nicht deuten als: Kein einzelnes Los endet mit genau diesem Wert.
Allgemeine Hinweise
Nicht der wahrscheinlichste Wert
Bei der Tombola ist \(-2\) € am wahrscheinlichsten, der Erwartungswert aber \(-0{,}25\) €.
Deutungssatz
Immer mit „im Mittel“ oder „auf lange Sicht pro …“ formulieren und die Einheit nennen.
Reingewinn statt Auszahlung
Wer mit Auszahlungen rechnet, zieht am Ende den Einsatz ab: \(E(\text{Auszahlung})-2\) € liefert denselben Wert.