Das Intervall um μ bauen
Ein Prognoseintervall sagt voraus, in welchem Bereich die Trefferzahl mit hoher Wahrscheinlichkeit liegen wird.
- Prognoseintervall:kleinstes zu \(\mu\) symmetrisches Intervall \([\mu-c;\,\mu+c]\) mit \(P(\mu-c\le X\le\mu+c)\ge90\,\%\) bzw. \(95\,\%\).
- Grafisch:Vom Erwartungswert aus links und rechts je eine Säule dazunehmen, bis die Summe die Sicherheit erreicht.
- Tabellarisch:GTR Bcd mit Lower \(\mu-c\), Upper \(\mu+c\) für \(c=1,2,3,\dots\) — der erste Wert über der Grenze entscheidet.
Baue das Intervall Säule für Säule auf, bis die gewählte Sicherheit erreicht ist. Prüfe dann, ob es wirklich das kleinste symmetrische Intervall ist.
| c | Intervall | P(μ − c ≤ X ≤ μ + c) |
|---|
Halte fest: Man erweitert symmetrisch, bis die Wahrscheinlichkeit die Grenze zum ersten Mal erreicht. Das Intervall davor ist zu klein, jedes größere nicht mehr das kleinste.
Prognoseintervall: Das kleinste zu \(\mu\) symmetrische Intervall \([\mu-c;\,\mu+c]\) mit \(P(\mu-c\le X\le\mu+c)\ge90\,\%\) bzw. \(95\,\%\).
Bestimmen: Man erweitert symmetrisch um \(\mu\), grafisch Säule für Säule, tabellarisch mit \(c=1,2,3,\dots\), bis die Wahrscheinlichkeit die Grenze zum ersten Mal erreicht.
Aussage: Es sagt voraus, in welchem Bereich die Trefferzahl mit hoher Wahrscheinlichkeit liegt.
Im Sachkontext deuten
Das Prognoseintervall macht eine Aussage über zukünftige Stichproben, wenn \(p\) bekannt ist.
95 %-Prognoseintervall: kleinstes \([\mu-c;\,\mu+c]\) mit \(P(\mu-c\le X\le\mu+c)\ge0{,}95\)
Deutung: Mit mindestens 95 % Wahrscheinlichkeit liegt die Trefferzahl einer künftigen Stichprobe im Intervall, wenn \(p\) bekannt ist.
Relativ: Teilt man durch \(n\), erhält man den Anteilsbereich.
Größeres n: Das Intervall der Anteile wird enger.
Allgemeine Hinweise
Nicht über 95 % hinausbauen
Ist die Grenze erreicht, wird nicht weiter erweitert — das kleinste passende Intervall ist gesucht.
Beide Nachbarwerte angeben
Zur Begründung gehören zwei Wahrscheinlichkeiten: die für das Intervall (über der Grenze) und die für das nächstkleinere (darunter).
Prognose, keine Garantie
Auch außerhalb des Intervalls kann die Trefferzahl liegen — nur eben mit weniger als 5 % Wahrscheinlichkeit.