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Die Bernoulli-Formel

Wie viele Pfade, wie wahrscheinlich jeder — daraus entsteht eine Formel für alle k.

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Pfade mit genau k Treffern

Für \(P(X=k)\) braucht man alle Pfade des Baumdiagramms mit genau \(k\) Treffern. Man muss sie nicht einzeln zeichnen.

  • Ein Pfad:Jeder Pfad mit \(k\) Treffern und \(n-k\) Nieten hat die Wahrscheinlichkeit \(p^k\cdot(1-p)^{n-k}\).
  • Alle gleich:Nur die Reihenfolge von \(T\) und \(N\) unterscheidet sich — die Faktoren sind dieselben.
  • Anzahl:Binomialkoeffizient \(\binom nk\): Auf so viele Arten kann man \(k\) der \(n\) Stufen für die Treffer auswählen.

Wähle eine Trefferzahl k. Die passenden Pfade leuchten auf. Lege sie mit „Pfade umlegen“ in die Säule rechts — nacheinander für alle k.

Pfade umlegen

Halte fest: Die Säule für \(k\) besteht aus \(\binom nk\) gleich großen Stücken. Jedes Stück ist ein Pfad mit der Wahrscheinlichkeit \(p^k(1-p)^{n-k}\).

Merke

Ein Pfad: Jeder Pfad mit \(k\) Treffern und \(n-k\) Nieten hat die Wahrscheinlichkeit \(p^k\cdot(1-p)^{n-k}\).

Anzahl: Der Binomialkoeffizient \(\binom nk\) gibt an, auf wie viele Arten man \(k\) von \(n\) Stufen für die Treffer auswählen kann.

Zusammen: Die Wahrscheinlichkeit für genau \(k\) Treffer ist die Anzahl dieser Pfade mal die Wahrscheinlichkeit eines Pfades.

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Die Formel

Am Beispiel \(n=4\), \(p=0{,}3\), \(k=2\):

Herleitung:
\(P(X=2)=P(TTNN)+P(TNTN)+\dots+P(NNTT)\)
Summe

Summenregel: alle Pfade mit genau zwei Treffern addieren.

\(P(X=2)=6\cdot0{,}3^2\cdot0{,}7^2\)
zusammenfassen

Sechs gleiche Summanden, denn \(\binom42=6\).

\(P(X=k)=\binom nk\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\)
verallgemeinern

Allgemein: Anzahl der Pfade mal Wahrscheinlichkeit eines Pfades.

  • Beispiel:\(P(X=2)=6\cdot0{,}09\cdot0{,}49=0{,}2646\).
  • Binomialkoeffizient:\(\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\); GTR: OPTN F6 F3 (PROB) F3 (nCr), z. B. 4 nCr 2 = 6.
  • Sonderfälle:\(\binom n0=\binom nn=1\): nur ein Pfad ohne bzw. mit lauter Treffern.
Merke

Bernoulli-Formel: \(P(X=k)=B(n;p;k)=\binom nk\cdot p^k\cdot(1-p)^{n-k}\)

Binomialkoeffizient: \(\binom nk=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\); am GTR mit nCr.

Sonderfälle: \(\binom n0=\binom nn=1\).

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Allgemeine Hinweise

Faktoren lesen

\(\binom nk\): wie viele Pfade · \(p^k\): die \(k\) Treffer · \((1-p)^{n-k}\): die übrigen Nieten.

Exponenten prüfen

Die beiden Exponenten ergeben zusammen immer \(n\). \(0{,}3^2\cdot0{,}7^3\) passt nicht zu \(n=4\).

Binomialkoeffizient nicht vergessen

\(0{,}3^2\cdot0{,}7^2\) ist nur ein Pfad. Erst mal 6 ergibt „genau zwei Treffer“.

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