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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zur momentanen Änderungsrate — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen die gestuften Tipps.
A1
Algen im Baggersee
AFB IDie Algenfläche auf einem Baggersee wächst exponentiell. \(f(t)\) ist die Fläche nach \(t\) Tagen, \(f'(t)\) die Wachstumsgeschwindigkeit. Gib alle Aussagen an, die stimmen.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
\(f(t+1)-f(t)\) ist die mittlere Änderung über einen ganzen Tag, nicht die momentane Rate. Und \(k\) ist nicht \(b\): bei \(b=1{,}5\) ist \(k\approx0{,}405\).
Beim exponentiellen Wachstum gilt \(f'(t)=k\cdot f(t)\). Was folgt daraus für einen doppelt so großen Bestand?
Die momentane Änderungsrate ist eine Tangentensteigung; \(f(t+1)-f(t)\) ist eine Sekantensteigung über die Breite 1.
A2
Stimmt's? — Tangente und Bestand
AFB IFünf Behauptungen zur momentanen Änderungsrate.
5 Aussagen nacheinander. Eine falsche Einschätzung reicht — dann startest du die Serie mit „Neue Runde“ neu.
Proportionalität zum Bestand ist das Kennzeichen exponentiellen Wachstums — beim linearen Wachstum ist die Rate konstant.
Zeichne dir zu jeder Aussage kurz einen Graphen: Wie ändert sich die Tangentensteigung?
Bei \(f(t)=300\cdot2^{t}\) ist \(f(4)=300\cdot16\). Was bedeutet das für \(f'(4)\)?
A3
Hefezellen in der Petrischale
AFB IEin Bestand wächst nach \(f(t)=1000\cdot1{,}2^{t}\) (\(t\) in Stunden). Gemessen wurde \(f'(0)\approx182\) Zellen pro Stunde. Berechne die fehlenden Werte — die Rate mit einer Nachkommastelle.
Fülle alle Felder aus und prüfe dann. Enter in einem Feld prüft ebenfalls. Negative Zahlen mit Minuszeichen, Dezimalzahlen mit Komma oder Punkt.
| t in h | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| f(t) | 1000 | |||
| f′(t) in Zellen/h | 182 |
Weil \(f'\) proportional zu \(f\) ist, wächst auch die Rate stündlich mit dem Faktor \(1{,}2\): \(182\cdot1{,}2=218{,}4\), \(218{,}4\cdot1{,}2\approx262{,}1\), \(262{,}1\cdot1{,}2\approx314{,}5\). Wer jede Stunde \(182\) addiert, rechnet linear.
Der Quotient \(\frac{f'(t)}{f(t)}=\frac{182}{1000}\) bleibt fest. Was heißt das für \(f'(1)\)?
Multipliziere die Rate genauso wie den Bestand jede Stunde mit \(1{,}2\).