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Wachstumsgeschwindigkeit

Warum wächst ein Bestand umso schneller, je größer er schon ist?

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Die momentane Änderungsrate

Wie schnell ein Bestand gerade wächst, sagt seine Ableitung: die Steigung der Tangente an den Graphen.

  • Bestand \(f(t)\):Größe zum Zeitpunkt \(t\), z. B. Anzahl der Bakterien nach \(t\) Stunden.
  • Wachstumsgeschwindigkeit:\(f'(t)\) — momentane Änderungsrate, geometrisch die Tangentensteigung im Punkt \(\bigl(t\,|\,f(t)\bigr)\).
  • Einheit:Einheit des Bestands pro Zeiteinheit, z. B. Bakterien pro Stunde.
  • Näherung:\(f'(t)\approx\dfrac{f(t+h)-f(t)}{h}\) mit kleinem \(h\) — Sekante statt Tangente.

Ziehe den Messpunkt auf dem Graphen (oder nutze die Pfeiltasten), lies am Tangentenlineal die Steigung ab und trage mit „Messwert eintragen“ mindestens drei Messungen ein. Achte auf das rechte Diagramm.

Tangentenlineal an der Hefekultur

Halte fest: Der Quotient \(\frac{N'(t)}{N(t)}\) ist bei jeder Messung derselbe (\(\approx0{,}26\) pro Stunde) — die Messpunkte liegen auf einer Ursprungsgeraden. Die Wachstumsgeschwindigkeit ist proportional zum Bestand.

Merke

Bestand: \(f(t)\) ist die Größe zum Zeitpunkt \(t\).

Wachstumsgeschwindigkeit: \(f'(t)\) ist die momentane Änderungsrate, geometrisch die Tangentensteigung; Einheit: Bestand pro Zeiteinheit.

Näherung: \(f'(t)\approx\dfrac{f(t+h)-f(t)}{h}\) mit kleinem \(h\).

Beobachtung: Der Quotient \(\frac{f'(t)}{f(t)}\) ist immer gleich: Die Wachstumsgeschwindigkeit ist proportional zum Bestand.

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Proportional zum Bestand

Beim exponentiellen Wachstum ist die Wachstumsgeschwindigkeit immer ein fester Anteil \(k\) des momentanen Bestands.

Herleitung:

\(f(t)=a\cdot b^{t}\)
| Ansatz
Exponentielles Wachstum mit Anfangswert \(a\) und Wachstumsfaktor \(b\).
\(\dfrac{f(t+h)-f(t)}{h}=\dfrac{a\cdot b^{t+h}-a\cdot b^{t}}{h}\)
| einsetzen
Differenzenquotient mit kleinem \(h\).
\(\dfrac{f(t+h)-f(t)}{h}=a\cdot b^{t}\cdot\dfrac{b^{h}-1}{h}\)
| ausklammern
Potenzgesetz \(b^{t+h}=b^{t}\cdot b^{h}\), dann \(a\cdot b^{t}\) ausklammern.
\(\dfrac{f(t+h)-f(t)}{h}=f(t)\cdot\dfrac{b^{h}-1}{h}\)
| \(f(t)\) einsetzen
Der zweite Faktor hängt nur von \(b\) und \(h\) ab, nicht von \(t\).
\(f'(t)=k\cdot f(t)\)
Ergebnis
Für \(h\to0\) strebt \(\frac{b^{h}-1}{h}\) gegen eine feste Zahl \(k\).
  • Wachstumskonstante \(k\):fester Proportionalitätsfaktor, Einheit \(\frac{1}{\text{Zeiteinheit}}\); \(k>0\) Wachstum, \(k<0\) Zerfall.
  • Deutung:doppelter Bestand \(\Rightarrow\) doppelte Wachstumsgeschwindigkeit.
  • Beispiel:\(f(t)=200\cdot1{,}5^{t}\): \(\frac{f'(t)}{f(t)}\approx0{,}405\) für jedes \(t\), also \(f'(t)\approx0{,}405\cdot f(t)\).
  • Neue Gleichungsart:\(f'=k\cdot f\) verbindet die Funktion mit ihrer Ableitung — eine Differentialgleichung.
  • Vergleich linear:\(f(t)=m\cdot t+n\) hat \(f'(t)=m\) — konstante Geschwindigkeit, unabhängig vom Bestand.
Merke

Exponentielles Wachstum: \(f'(t)=k\cdot f(t)\)

Wachstumskonstante: \(k\) ist ein fester Faktor; \(k>0\) bedeutet Wachstum, \(k<0\) Zerfall.

Deutung: Doppelter Bestand bedeutet doppelte Wachstumsgeschwindigkeit.

Vergleich linear: \(f(t)=m\cdot t+n\) hat \(f'(t)=m\), unabhängig vom Bestand.

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Allgemeine Hinweise

k ist nicht der Wachstumsfaktor

Bei \(b=1{,}5\) (50 % pro Stunde) ist \(k\approx0{,}405\), nicht \(0{,}5\) und nicht \(1{,}5\). Welche Zahl \(k\) genau ist, klärt das Unterkapitel „Die Basis e“.

Einheit von k

\(k=\frac{f'(t)}{f(t)}\) hat die Einheit \(\frac{\text{Bakterien}/\text{h}}{\text{Bakterien}}=\frac{1}{\text{h}}\) — schreibe sie bei Sachaufgaben mit.

Tangente, nicht Sekante

\(\frac{f(4)-f(2)}{2}\) ist die mittlere Änderungsrate auf \([2;4]\). Die Wachstumsgeschwindigkeit bei \(t=2\) ist \(f'(2)\).

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