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Wasserhyazinthen auf einem See
AFB I–IIWasserhyazinthen breiten sich auf einem See aus. Die bedeckte Fläche wird durch \(A(t)=2\cdot1{,}15^{t}\) beschrieben (\(t\) in Tagen, \(A\) in \(\mathrm{m^2}\)).
- Berechnen Sie die bedeckte Fläche nach 10 Tagen.
- Bestimmen Sie mit einem Differenzenquotienten (\(h=0{,}01\)) näherungsweise die Wachstumsgeschwindigkeit nach 10 Tagen und interpretieren Sie den Wert.
- Weisen Sie an den Zeitpunkten \(t=0\) und \(t=10\) nach, dass \(\frac{A'(t)}{A(t)}\) (näherungsweise) konstant ist.
- Ermitteln Sie, ab welchem Tag täglich mehr als \(5\,\mathrm{m^2}\) neu bedeckt werden.
Hinweise
Hinweis zu Aufgabe a)
Setze \(t=10\) in \(A(t)\) ein.
Hinweis zu Aufgabe b)
\(\frac{A(10{,}01)-A(10)}{0{,}01}\), Einheit \(\mathrm{m^2}\) pro Tag.
Hinweis zu Aufgabe c)
Berechne den Differenzenquotienten auch bei \(t=0\) und bilde beide Quotienten.
Hinweis zu Aufgabe d)
Mit \(A'(t)=k\cdot A(t)\) und \(k\approx0{,}140\) musst du \(A(t)>\frac{5}{0{,}140}\) lösen — z. B. mit der Tabelle des GTR (MENU Table).