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Von aˣ zur Basis e

Jede Exponentialfunktion ist verkleidet eine e-Funktion — man muss nur den ln kennen.

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Jede Basis als Potenz von e

Weil \(e^{\ln a}=a\) gilt, lässt sich jede positive Basis \(a\) als Potenz von \(e\) schreiben — und damit jede Exponentialfunktion als e-Funktion.

Herleitung:

\(a=e^{\ln a}\)
| \(a>0\)
Der ln ist die Umkehrung von \(e^{x}\).
\(a^{x}=\left(e^{\ln a}\right)^{x}\)
| Potenzgesetz
Beide Seiten hoch \(x\) nehmen.
\(a^{x}=e^{x\cdot\ln a}\)
Ergebnis
Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren.
  • Wachstumskonstante:\(k=\ln a\), also \(c\cdot a^{x}=c\cdot e^{kx}\).
  • Vorzeichen:\(a>1\Rightarrow k>0\) (Wachstum), \(0<a<1\Rightarrow k<0\) (Zerfall), \(a=1\Rightarrow k=0\).
  • Beispiele:\(2^{x}=e^{0{,}693x}\), \(0{,}8^{x}=e^{-0{,}223x}\), \(1{,}05^{t}=e^{0{,}0488t}\).
  • Rückweg:\(e^{0{,}2x}=\left(e^{0{,}2}\right)^{x}\approx1{,}221^{x}\) — Wachstumsfaktor \(a=e^{k}\).

Sortiere die sechs Funktionen nach ihrer Wachstumskonstanten \(k\) — von der kleinsten oben bis zur größten unten. Ziehen mit der Maus oder Karte mit Leertaste aufnehmen, mit den Pfeiltasten verschieben und mit Leertaste ablegen. Dann „Prüfen“.

Wer hat das größere k?

kleinstes \(k\)

    größtes \(k\)

    Halte fest: Um Exponentialfunktionen zu vergleichen, rechnet man jede Basis in \(k=\ln a\) um. Der Vorfaktor ändert \(k\) nicht, und \(k\) liegt immer etwas unter dem Prozentsatz \(a-1\).

    Merke

    Umschreiben: \(a^{x}=e^{x\cdot\ln a}\), weil \(e^{\ln a}=a\) gilt.

    Wachstumskonstante: \(k=\ln a\), also \(c\cdot a^{x}=c\cdot e^{kx}\); Rückweg \(a=e^{k}\).

    Vorzeichen: \(a>1\Rightarrow k>0\) (Wachstum), \(0<a<1\Rightarrow k<0\) (Zerfall), \(a=1\Rightarrow k=0\).

    Vergleichen: Exponentialfunktionen vergleicht man über \(k=\ln a\); der Vorfaktor ändert \(k\) nicht.

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    Die Ableitung von aˣ

    Mit der Kettenregel lässt sich jetzt jede Exponentialfunktion ableiten.

    • Umschreiben:\(\left(a^{x}\right)'=\left(e^{x\cdot\ln a}\right)'=\ln a\cdot e^{x\cdot\ln a}=\ln a\cdot a^{x}\).
    • Beispiel 1:\(\left(2^{x}\right)'=\ln2\cdot2^{x}\approx0{,}693\cdot2^{x}\) — der Faktor ist \(\ln2\).
    • Beispiel 2:\(f(t)=500\cdot0{,}8^{t}\Rightarrow f'(t)=500\cdot\ln0{,}8\cdot0{,}8^{t}\approx-111{,}6\cdot0{,}8^{t}\).
    • Halbwertszeit:aus \(k=\ln0{,}8\approx-0{,}223\) folgt \(T_{1/2}=\frac{\ln2}{|k|}\approx3{,}1\) Zeiteinheiten.
    Merke

    Umformen und Ableiten: \(a^{x}=e^{x\cdot\ln a}\quad\text{und}\quad\left(a^{x}\right)'=\ln a\cdot a^{x}\)

    Herleitung: Mit der Kettenregel: \(\left(e^{x\cdot\ln a}\right)'=\ln a\cdot e^{x\cdot\ln a}\).

    Beispiel: \(\left(2^{x}\right)'=\ln2\cdot2^{x}\).

    Halbwertszeit: \(T_{1/2}=\frac{\ln2}{|k|}\) mit \(k=\ln a\).

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    Allgemeine Hinweise

    Keine Potenzregel

    \(\left(2^{x}\right)'\neq x\cdot2^{x-1}\). Die Potenzregel gilt nur, wenn die Variable in der Basis steht, wie bei \(x^{2}\).

    Prozent und k

    Bei 5 % Zunahme ist \(k=\ln1{,}05\approx0{,}0488\), nicht \(0{,}05\). Für kleine Prozentsätze liegen beide Werte dicht beieinander.

    Nicht runden, speichern

    Rechne mit \(\ln a\) im Speicher des Rechners weiter. Wer \(k\) früh auf zwei Stellen rundet, bekommt bei großen \(t\) deutliche Abweichungen.

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