Säulen aufsummieren
Oft fragt man nicht nach genau \(k\) Treffern, sondern nach höchstens \(k\). Dann werden die Säulen von \(0\) bis \(k\) addiert.
- Kumuliert:\(P(X\le k)=B(n;p;0)+B(n;p;1)+\dots+B(n;p;k)\)
- GTR fx-CG50:STAT, F5 (DIST), F5 (BINOMIAL), F2 (Bcd); Lower: 0, Upper: \(k\), Numtrial: \(n\), p: \(p\).
- CAS TI-Nspire:Binomial Cdf im selben Menü; \(\text{binomCdf}(n,p,a,b)=P(a\le X\le b)\).
- Treppe:Trägt man \(P(X\le k)\) über \(k\) auf, entsteht eine Treppe, die von 0 bis 1 steigt.
Kumulierte Wahrscheinlichkeit: \(P(X\le k)=\sum\limits_{i=0}^{k}B(n;p;i)=\text{binomCdf}(n,p,0,k)\)
Bedeutung: höchstens \(k\) Treffer: die Säulen von \(0\) bis \(k\) addieren.
Rechner: GTR: STAT › DIST › BINOMIAL › Bcd; CAS: \(\text{binomCdf}(n,p,a,b)=P(a\le X\le b)\).
Treppe: \(P(X\le k)\) über \(k\) steigt als Treppe von 0 bis 1.
Sprache in Formeln übersetzen
Jede Formulierung wird auf „höchstens“ zurückgeführt — dann reicht ein Wert aus der Treppe oder die Differenz zweier Werte.
- höchstens k:\(P(X\le k)\)
- weniger als k:\(P(X\le k-1)\)
- mindestens k:\(P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)\)
- mehr als k:\(P(X>k)=1-P(X\le k)\)
- zwischen a und b:\(P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a-1)\)
Wähle eine Frage. Schiebe das Messlineal auf die Treppe (ziehen oder Pfeiltasten) und übernimm die Werte, die du für die Rechnung brauchst.
| abgelesen | Wert |
|---|---|
| noch keine Messung | |
Halte fest: Bei „mindestens 5“ liest man bei 4 ab, nicht bei 5 — denn \(X=5\) gehört zu den gesuchten Ergebnissen und darf nicht abgezogen werden.
Auf „höchstens“ zurückführen: Jede Formulierung wird in \(P(X\le\ldots)\) übersetzt.
Höchstens/weniger: höchstens \(k\): \(P(X\le k)\); weniger als \(k\): \(P(X\le k-1)\).
Mindestens/mehr: mindestens \(k\): \(1-P(X\le k-1)\); mehr als \(k\): \(1-P(X\le k)\).
Zwischen: \(P(a\le X\le b)=P(X\le b)-P(X\le a-1)\).
Allgemeine Hinweise
Grenze genau prüfen
„Mehr als 9“ beginnt bei 10, „mindestens 9“ bei 9. Schreibe die Menge der gesuchten \(k\)-Werte kurz auf.
Gegenereignis nutzen
„Mindestens einer“ geht am schnellsten über \(1-P(X=0)\).
Direkt mit Grenzen
Bcd bzw. binomCdf nehmen untere und obere Grenze: \(P(4\le X\le10)\) mit Lower 4, Upper 10 — ohne Differenz.