Gewinn = Auszahlung − Einsatz
Ob ein Spiel fair ist, entscheidet der Erwartungswert des Reingewinns \(G\) des Spielers.
- Reingewinn:\(G=\text{Auszahlung}-\text{Einsatz}\), Verlust als negative Zahl.
- Fair:\(E(G)=0\) — auf lange Sicht gewinnt keine Seite.
- Günstig:\(E(G)>0\) für den Spieler; ungünstig: \(E(G)<0\).
Lies die Spielregel, tippe dein Urteil und prüfe dann. Erst schätzen, dann rechnen — wie gut ist dein Bauchgefühl?
Halte fest: Das Bauchgefühl täuscht oft — hohe Auszahlungen wirken verlockend, entscheidend ist aber das Produkt aus Auszahlung und Wahrscheinlichkeit, verglichen mit dem Einsatz.
Reingewinn: \(G=\text{Auszahlung}-\text{Einsatz}\); ein Verlust ist negativ.
Fair: \(E(G)=0\): Auf lange Sicht gewinnt keine Seite.
Günstig/ungünstig: \(E(G)>0\) für den Spieler günstig, \(E(G)<0\) ungünstig.
Ein Spiel fair machen
Zwei Würfel, bei einem Pasch werden \(a\) Euro ausgezahlt, der Einsatz ist 1 €. Wie groß muss \(a\) sein?
Herleitung:
- Kontrolle:\(E(\text{Auszahlung})=6\cdot\tfrac16=1\) € — genau der Einsatz.
- Stellschrauben:Einsatz, Auszahlung oder Gewinnwahrscheinlichkeit verändern.
Faires Spiel: \(E(G)=0\), gleichbedeutend mit \(E(\text{Auszahlung})=\text{Einsatz}\)
Fair machen: Einsatz, Auszahlung oder Gewinnwahrscheinlichkeit so verändern, dass der Erwartungswert der Auszahlung dem Einsatz entspricht.
Beispiel: Pasch bei zwei Würfeln, Einsatz 1 €: \(a\cdot\tfrac16=1\), also \(a=6\).
Allgemeine Hinweise
Einsatz auch beim Gewinnen
Wer 6 € ausgezahlt bekommt und 1 € gesetzt hat, gewinnt nur 5 €. Mit Auszahlungen rechnen und am Ende den Einsatz abziehen — oder gleich mit \(G\).
Fair heißt nicht: niemand verliert
Einzelne Spieler gewinnen oder verlieren sehr wohl. Nur im Mittel über viele Spiele gleicht es sich aus.
Unbekannte Größe
Gesuchte Auszahlung oder Einsatz als Variable ansetzen und \(E(G)=0\) nach ihr auflösen.