Flächen mit dem Rechner
Wahrscheinlichkeiten sind Flächen unter der Glockenkurve. Der Rechner liefert sie als Wert der Verteilungsfunktion \(\Phi\).
- Beispiel:Eine Anlage füllt Zuckerpakete; die Füllmenge \(X\) (in g) ist normalverteilt mit \(\mu=500\) und \(\sigma=4\).
- Ansatz:\(P(495\le X\le505)=\int_{495}^{505}f(x)\,dx\) — eine Stammfunktion lässt sich nicht elementar angeben, also rechnet der Rechner.
- GTR fx-CG50:MENU Statistik, F5 (DIST), F1 (NORM), F2 (Ncd); Data: Variable, Lower: 495, Upper: 505, σ: 4, μ: 500, Execute → p ≈ 0,7887.
- CAS TI-Nspire:menu Wahrscheinlichkeit › Verteilungen › Normal Cdf; ergibt \(\text{normCdf}(495,505,500,4)\approx0{,}7887\).
- Einseitig:Für \(P(X\le490)\) als Lower \(-10^{99}\) eingeben (GTR: −1E99): \(\approx0{,}0062\).
Ziehe die Grenze b über die Achse oder starte ▶: Die Fläche links von b wird Stück für Stück als Höhe der unteren Kurve abgewickelt. Schalte auf zwei Grenzen um.
Halte fest: Die Höhe der Summenkurve bei b ist die Fläche links von b. Die Fläche zwischen a und b ist die Differenz zweier Höhen.
Wahrscheinlichkeit: Sie ist die Fläche unter der Glockenkurve; der Rechner liefert sie über die Verteilungsfunktion \(\Phi\).
Intervall: \(P(a\le X\le b)=\Phi(b)-\Phi(a)\), also die Differenz zweier Höhen der Summenkurve.
GTR: Statistik › DIST › NORM › Ncd (Lower, Upper, \(\sigma\), \(\mu\)).
CAS: normCdf(Lower, Upper, \(\mu\), \(\sigma\)); einseitig mit \(-10^{99}\) als untere Grenze.
Grenzen aus Wahrscheinlichkeiten
Umgekehrt lässt sich zu einer Wahrscheinlichkeit die passende Grenze bestimmen.
- Umkehrfrage:Gesucht ist eine Grenze \(x\), gegeben ist die Wahrscheinlichkeit, z. B. „Unter welcher Masse liegen die leichtesten 5 %?“
- GTR fx-CG50:NORM › F3 (InvN); Tail: Left, Area: 0.05, σ: 4, μ: 500 → x ≈ 493,42.
- CAS TI-Nspire:\(\text{invNorm}(0.05,500,4)\approx493{,}42\).
- Deutung:5 % der Pakete wiegen weniger als etwa 493,4 g.
Normalverteilung: \(P(a\le X\le b)=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\Phi(b)-\Phi(a)\)
Umkehrfrage: Zu gegebener Wahrscheinlichkeit wird die Grenze \(x\) gesucht.
GTR: NORM › InvN (Tail: Left, Area, \(\sigma\), \(\mu\)).
CAS: \(\text{invNorm}(\text{Fläche},\mu,\sigma)\).
Allgemeine Hinweise
Reihenfolge am GTR
Der Casio fragt erst σ, dann μ ab; beim CAS steht erst μ, dann σ. Vertauschte Werte liefern unsinnige Ergebnisse.
Ansatz notieren
Im Heft steht \(P(495\le X\le505)\approx0{,}7887\) mit Angabe von μ und σ — keine Tastenfolge.
invNorm zählt von links
Die Fläche wird immer links von x gemessen. Für „die schwersten 5 %“ gilt Area 0,95 (oder Tail: Right).