Prognosen für Anteile: Übungen – Mathe Klasse 13

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Übungsaufgaben

Dreißig Übungen von AFB I bis AFB III: Umgebungen für Anteile berechnen, vergleichen und den nötigen Stichprobenumfang bestimmen. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; wenn du hängst, helfen die gestuften Tipps.

Streuung des Anteils

AFB I

70 % der Radfahrer tragen einen Helm. An einer Kreuzung werden 500 Radfahrer beobachtet. Berechnen Sie die Standardabweichung des Anteils \(h\) (vier Nachkommastellen).

Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.

\(\sqrt{\tfrac{0{,}7\cdot0{,}3}{500}}=\sqrt{0{,}00042}\approx0{,}0205\). Wer \(\sqrt{500\cdot0{,}21}\approx10{,}25\) rechnet, erhält die Streuung der Anzahl, nicht des Anteils.

Ansatz: \(\sigma_h=\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\).

Weiter: Die Wurzel über den ganzen Bruch.

Lückentext: vom Zählen zum Anteil

AFB I

Nennen Sie die fehlenden Begriffe — ein Wort bleibt übrig.

Wort anklicken, dann Lücke anklicken (oder umgekehrt) — mit Tab und Enter geht es genauso. Ein Klick auf eine gefüllte Lücke legt das Wort zurück.

Die \(h=\tfrac Xn\) gibt den Trefferanteil der Stichprobe an. Man erhält ihre Umgebung, indem man das Prognoseintervall für \(X\) teilt. Die Mitte der Umgebung ist dann , die Streuung enthält \(n\) unter einer im Nenner. Mit wachsendem Stichprobenumfang wird die Umgebung .

„breiter“ bleibt übrig: Das gilt für das Intervall der Anzahl, nicht für den Anteil.

Ansatz: \(\tfrac{\mu}{n}=p\).

Weiter: \(\tfrac{\sigma}{n}=\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\).

Stichprobenumfang und Genauigkeit

AFB I

Ordnen Sie jedem Stichprobenumfang die halbe Breite der 95 %-Umgebung für \(p=0{,}5\) zu.

Klicke links einen Eintrag an und dann rechts den passenden — es entsteht eine Verbindungslinie. Mit der Tastatur: Enter zum Auswählen, ↑/↓ zum Wandern.

Trick: \(1{,}96\cdot\tfrac{0{,}5}{\sqrt n}=\tfrac{0{,}98}{\sqrt n}\) — mit \(\sqrt n\) im Kopf ist die Zuordnung sofort klar.

Ansatz: Für \(p=0{,}5\) ist \(\sqrt{p(1-p)}=0{,}5\).

Weiter: Halbe Breite \(=\tfrac{0{,}98}{\sqrt n}\).