Von der Anzahl zum Anteil
Oft interessiert nicht die Anzahl, sondern der Anteil. Dazu wird das Prognoseintervall durch \(n\) geteilt.
- Relative Häufigkeit:\(h=\frac{X}{n}\) — der Anteil der Treffer in der Stichprobe.
- Kenngrößen:\(\frac{\mu}{n}=p\) und \(\frac{\sigma}{n}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\).
95 %-Prognoseintervall für die Trefferzahl X.
Alle drei Teile durch n teilen — die Ungleichung bleibt richtig.
μ : n = p und σ : n = √(n·p·(1−p)) : n = √(p·(1−p) : n).
Relative Häufigkeit: \(h=\frac{X}{n}\) ist der Trefferanteil; das Prognoseintervall wird durch \(n\) geteilt.
Kenngrößen: \(\frac{\mu}{n}=p\) und \(\frac{\sigma}{n}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\).
Umgebung: \(p-1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\le h\le p+1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\).
Mehr Daten, engere Umgebung
Die Umgebung für den Anteil wird mit wachsendem \(n\) schmaler — Stichproben werden genauer.
- Genauigkeit:Die halbe Breite enthält \(\frac{1}{\sqrt n}\): vierfacher Umfang ergibt halbe Breite.
Setze die Umgebung aus Bausteinen zusammen: Baustein anklicken (oder Tab und Enter) oder in sein Feld ziehen, dann prüfen. Verändere danach n und die Sicherheit.
Halte fest: Mitte ist p, der Faktor kommt aus der Sicherheit, und die Wurzel enthält n im Nenner. Vervierfachen von n halbiert die Breite.
95 %-Umgebung für den Anteil: \(\left[p-1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}};\ p+1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\right]\)
Bausteine: Mitte ist \(p\), der Faktor kommt aus der Sicherheit, \(n\) steht im Nenner unter der Wurzel.
Genauigkeit: Die halbe Breite enthält \(\frac{1}{\sqrt n}\): vierfacher Umfang ergibt halbe Breite.
Allgemeine Hinweise
Vierfach für halb
Soll ein Intervall halb so breit werden, braucht man den vierfachen Stichprobenumfang — nicht den doppelten.
Wurzel über den ganzen Bruch
\(\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\) ist nicht \(\frac{\sqrt{p(1-p)}}{n}\). Beim Eintippen Klammern setzen.
Anteile nicht runden
Grenzen für Anteile gibt man mit drei Nachkommastellen an; auf ganze Zahlen wird hier nicht gerundet.