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Konfidenzintervalle für p

Wie viele Menschen nutzen eine App wirklich? Aus 500 Befragten lässt sich der wahre Anteil nicht genau, aber sicher eingrenzen.

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Alle verträglichen p

Beim Konfidenzintervall wird der Schluss umgedreht: von der Stichprobe auf den unbekannten Anteil.

  • Umkehrung:Jetzt ist \(p\) unbekannt und \(h\) aus der Stichprobe bekannt.
  • Idee:Man sammelt alle Werte von \(p\), mit denen das beobachtete \(h\) verträglich ist.
  • Konfidenzintervall:Diese Werte bilden ein Intervall — das Konfidenzintervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit 95 %.

Ziehe den Punkt p über die Achse (oder Pfeiltasten). Für jedes p erscheint seine 95 %-Umgebung als senkrechte Strecke. Grün heißt: Das beobachtete h liegt darin — auf der h-Linie bleibt eine Spur zurück.

Welche p passen zu h?

Halte fest: Die verträglichen p liegen dort, wo die waagerechte h-Linie innerhalb der Umgebungskurven verläuft. Ihre Grenzen sind die Schnittpunkte — das Konfidenzintervall.

Merke

Umkehrung: Beim Konfidenzintervall ist \(p\) unbekannt und der Anteil \(h\) der Stichprobe bekannt.

Idee: Man sammelt alle Werte von \(p\), mit denen das beobachtete \(h\) verträglich ist.

Konfidenzintervall: Diese Werte bilden ein Intervall zur Sicherheitswahrscheinlichkeit, z. B. 95 %; die Grenzen sind die Schnittpunkte der \(h\)-Linie mit den Umgebungskurven.

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Die Grenzen berechnen

Die Grenzen erhält man, indem man die Verträglichkeitsbedingung nach \(p\) auflöst.

Herleitung:
\(|h-p|\le1{,}96\sqrt{\tfrac{p(1-p)}{n}}\)
Start

Bedingung für „p ist mit h verträglich“.

\((h-p)^2\le1{,}96^2\cdot\tfrac{p(1-p)}{n}\)
| quadrieren

Beide Seiten sind nicht negativ, das Quadrieren ändert die Lösungsmenge nicht.

\(\left(1+\tfrac{1{,}96^2}{n}\right)p^2-\left(2h+\tfrac{1{,}96^2}{n}\right)p+h^2\le0\)
| sortieren

Ausmultiplizieren und alles auf eine Seite bringen: eine quadratische Ungleichung in p.

\(p_1\le p\le p_2\)
| Lösungsformel

Die Nullstellen p₁ und p₂ der linken Seite sind die Grenzen des Konfidenzintervalls.

  • Beispiel:180 von 500, also \(h=0{,}36\): Das Konfidenzintervall ist \([0{,}319;\,0{,}403]\).
  • CAS TI-Nspire:\(\text{solve}\big(|0.36-p|\le1.96\cdot\sqrt{p\cdot(1-p)/500},\,p\big)\) liefert \(0.3191\le p\le0.4030\).
  • GTR fx-CG50:Im Graphen-Menü \(Y1=|0{,}36-X|\) und \(Y2=1{,}96\sqrt{X(1-X)/500}\) zeichnen, mit G-Solv (SHIFT F5) › ISCT die Schnittstellen bestimmen.
  • Näherung:\(h\pm1{,}96\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}=[0{,}318;\,0{,}402]\) — für große \(n\) fast gleich.
Merke

95 %-Konfidenzintervall: alle \(p\) mit \(|h-p|\le1{,}96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\); Lösung \(p_1\le p\le p_2\).

Berechnung: Die Ungleichung nach \(p\) auflösen (CAS: solve) oder die Schnittstellen der Graphen \(Y1=|h-X|\) und \(Y2=1{,}96\sqrt{X(1-X)/n}\) bestimmen (GTR: G-Solv › ISCT).

Näherung: \(h\pm1{,}96\sqrt{\frac{h(1-h)}{n}}\), für große \(n\) fast gleich.

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Allgemeine Hinweise

Prognose und Konfidenz nicht verwechseln

Prognoseintervall: p bekannt, Aussage über h. Konfidenzintervall: h bekannt, Aussage über p.

Näherung kennzeichnen

Wer mit \(h\) statt \(p\) unter der Wurzel rechnet, schreibt dazu, dass es eine Näherung ist — sie ist nur für große n brauchbar.

Grenzen nach außen runden

Beim Konfidenzintervall die untere Grenze ab- und die obere aufrunden, damit keine verträglichen Werte verloren gehen.

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