Zählen oder messen?
Ob eine Zufallsgröße diskret oder stetig ist, entscheidet die Frage: Wird gezählt oder gemessen?
- Diskret:Die Zufallsgröße nimmt einzelne, abzählbar viele Werte an — man zählt. Jeder Wert hat eine Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\).
- Stetig:Jeder Wert aus einem Intervall ist möglich — man misst (Zeit, Länge, Masse, Temperatur).
- Folge:Bei stetigen Größen ist \(P(X=a)=0\). Nur Intervalle wie \(P(170\le X\le175)\) haben eine positive Wahrscheinlichkeit.
Sortiere jede Zufallsgröße ein: Karte in ein Fach ziehen, ein Fach anklicken oder die Tasten 1 und 2 drücken. Wenn alle Karten liegen, prüfe.
Halte fest: Zählen liefert eine diskrete, Messen eine stetige Zufallsgröße. Entscheidend ist die Größe selbst, nicht wie genau man sie aufschreibt.
Diskret: Die Zufallsgröße nimmt einzelne, abzählbar viele Werte an (zählen); jeder Wert hat eine Wahrscheinlichkeit \(P(X=k)\).
Stetig: Jeder Wert eines Intervalls ist möglich (messen: Zeit, Länge, Masse, Temperatur).
Folge: Bei stetigen Größen gilt \(P(X=a)=0\); nur Intervalle haben positive Wahrscheinlichkeit.
Wahrscheinlichkeit als Fläche
Bei stetigen Zufallsgrößen treten Flächen an die Stelle der Säulen.
- Dichtefunktion:\(f(x)\ge0\) für alle \(x\), und die Gesamtfläche unter dem Graphen ist \(1\).
- Intervall:Die Wahrscheinlichkeit ist die Fläche zwischen Graph und \(x\)-Achse über dem Intervall \([a;\,b]\).
- Einzelwert:\(P(X=4)=\int_4^4 f(x)\,dx=0\) — deshalb ist es bei stetigen Größen egal, ob \(<\) oder \(\le\) steht.
Stetige Zufallsgröße: \(P(a\le X\le b)=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\).
Dichtefunktion: \(f(x)\ge0\) für alle \(x\); die Gesamtfläche unter dem Graphen ist \(1\).
Wahrscheinlichkeit: Sie ist die Fläche zwischen Graph und \(x\)-Achse über dem Intervall.
Einzelwert: \(P(X=a)=0\); darum ist \(<\) oder \(\le\) egal.
Allgemeine Hinweise
Grenzen nur bei stetig egal
Bei einer diskreten Größe ist \(P(X\le5)\ne P(X<5)\). Nur bei stetigen Größen fällt der Randwert nicht ins Gewicht.
Runden macht nicht diskret
Eine auf ganze Zentimeter gerundete Körpergröße bleibt eine gemessene Größe — modelliert wird sie stetig.
f(x) ist keine Wahrscheinlichkeit
Der Funktionswert der Dichte kann größer als 1 sein. Erst die Fläche über einem Intervall ist eine Wahrscheinlichkeit.