Glocke über dem Histogramm
Für große \(n\) sieht das Histogramm einer Binomialverteilung wie eine Glocke aus. Dann kann man mit der Normalverteilung nähern.
- Parameter:Zu \(X\sim B(n;p)\) passt die Glockenkurve mit \(\mu=n\cdot p\) und \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\).
- Einzelwert:\(P(X=k)\approx f(k)\) — die Säulenhöhe wird durch die Kurvenhöhe ersetzt.
- Stetigkeitskorrektur:Die Säule zu \(k\) reicht von \(k-0{,}5\) bis \(k+0{,}5\). Deshalb \(P(X\le k)\approx\Phi(k+0{,}5)\).
Lege die Glockenkurve über das Histogramm. Blende Histogramm, Glocke und die Abweichungen einzeln ein und vergleiche verschiedene n und p.
Halte fest: Je größer σ, desto besser passt die Glocke. Bei kleinem n und p nahe 0 ist das Histogramm schief — die Glocke liegt daneben.
Glockenform: Für große \(n\) ähnelt das Histogramm von \(X\sim B(n;p)\) einer Glockenkurve, die Normalverteilung nähert.
Parameter: \(\mu=n\cdot p\) und \(\sigma=\sqrt{n\cdot p\cdot(1-p)}\).
Stetigkeitskorrektur: Die Säule zu \(k\) reicht von \(k-0{,}5\) bis \(k+0{,}5\); daher \(P(X\le k)\approx\Phi(k+0{,}5)\).
Güte: Je größer \(\sigma\), desto besser passt die Glocke; bei kleinem \(n\) und \(p\) nahe 0 ist das Histogramm schief.
Wann ist die Näherung gut?
Ob die Näherung angemessen ist, entscheidet die Standardabweichung.
- Laplace-Bedingung:Faustregel: Die Näherung ist brauchbar, wenn \(\sigma>3\) gilt.
Laplace-Bedingung: Näherung brauchbar, wenn \(\sigma>3\) gilt.
Näherung: \(P(X\le k)\approx\Phi_{\mu;\sigma}(k+0{,}5)\) mit Stetigkeitskorrektur.
Ungeeignet: Bei \(\sigma\le3\) ist das Histogramm schief, die Näherung unpassend (z. B. \(n=20,\ p=0{,}1\)).
Allgemeine Hinweise
Exakt geht es mit dem Rechner
Mit Bcd bzw. binomCdf rechnet man Binomialwahrscheinlichkeiten exakt. Die Näherung braucht man vor allem für σ-Regeln und Begründungen.
Korrektur in die richtige Richtung
\(P(X\ge k)\approx1-\Phi(k-0{,}5)\), \(P(a\le X\le b)\approx\Phi(b+0{,}5)-\Phi(a-0{,}5)\): Die ganze Randsäule gehört dazu.
Faustregel, kein Gesetz
σ > 3 ist eine Erfahrungsregel. Knapp darüber kann die Näherung noch spürbar abweichen, besonders am Rand der Verteilung.