Sprungfrei und knickfrei
Eine Trasse setzt sich aus Stücken zusammen: links der Graph von \(g\), rechts der von \(h\). Entscheidend ist die Nahtstelle \(x_0\).
- Sprungfrei:gleiche Funktionswerte, \(g(x_0)=h(x_0)\) — die Stücke hängen zusammen.
- Knickfrei:zusätzlich gleiche Steigung, \(g'(x_0)=h'(x_0)\) — die Fahrtrichtung springt nicht.
- Knick:Die Fahrtrichtung ändert sich schlagartig — ein Fahrzeug müsste an dieser Stelle ruckartig lenken.
- Fachbegriffe:sprungfrei heißt stetig, knickfrei heißt differenzierbar.
- Krümmungsruckfrei:Für Bahnstrecken zusätzlich gleiche Krümmung, \(g''(x_0)=h''(x_0)\) — sonst reißt es am Lenkrad bzw. im Wagen.
Sprungfrei: \(g(x_0)=h(x_0)\) (stetig).
Knickfrei: Zusätzlich \(g'(x_0)=h'(x_0)\), also gleiche Steigung (differenzierbar).
Krümmungsruckfrei: Zusätzlich \(g''(x_0)=h''(x_0)\).
Knick: Die Fahrtrichtung ändert sich schlagartig.
Wähle ein Übergangsstück zwischen den beiden geraden Straßen und lass das Auto fahren (▶) — oder ziehe es entlang der Straße (Pfeiltasten, mit Umschalt feiner). Unten wird die Fahrtrichtung als Steigung mitgeschrieben.
Halte fest: An einem Knick springt die Steigungskurve — die Fahrtrichtung ändert sich schlagartig. Nur das Übergangsstück vom Grad 3 schließt an beiden Nahtstellen mit gleicher Steigung an.
Ein Übergangsbogen
- Bedingungen:je Ende Punkt und Steigung → vier Bedingungen → Grad 3.
- Ansatz:\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).
- Krümmungsruckfrei:je Ende noch \(f''=0\) → sechs Bedingungen → Ansatz vom Grad 5.
Ansatz: Je Ende Punkt und Steigung ergeben vier Bedingungen, also Grad 3: \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\).
Ergebnis: \(f(x)=-0{,}25x^3+0{,}75x^2\).
Krümmungsruckfrei: Je Ende zusätzlich \(f''=0\): sechs Bedingungen, Grad 5. Der Bogen vom Grad 3 ist knickfrei, aber nicht krümmungsruckfrei.
Allgemeine Hinweise
Skizze mit Nahtstellen
Erst skizzieren und an jede Nahtstelle Punkt und Steigung schreiben — daraus ergeben sich die Bedingungen fast von selbst.
Steigung der Nachbarstücke
Die Steigung am Rand kommt aus dem angrenzenden Stück: Gerade → ihre Steigung \(m\), Kurve → deren Ableitung an der Nahtstelle.
Nur im Intervall gültig
Der Übergangsbogen beschreibt die Trasse nur zwischen den Nahtstellen. Außerhalb gelten die angrenzenden Stücke.