Sprung oder kein Sprung
Eine abschnittsweise definierte Funktion setzt sich aus Termen zusammen, die an einer Nahtstelle \(x_0\) aneinanderstoßen. Stetig heißt: Dort gibt es keinen Sprung.
- Schreibweise:\(f(x)=\begin{cases} g(x), & x<x_0\\ h(x), & x\ge x_0\end{cases}\)
- Linksseitig:Wert, dem sich \(f(x)\) für \(x\to x_0\) von links nähert — hier \(g(x_0)\).
- Rechtsseitig:Wert von rechts — hier \(h(x_0)\), zugleich der Funktionswert \(f(x_0)\).
- Stetig in \(x_0\):beide Werte stimmen überein; anschaulich: den Graphen ohne Absetzen des Stifts zeichnen.
- Sprungstelle:links- und rechtsseitiger Wert verschieden.
Baue das rechte Stück \(h(x)=m\cdot x+b\) aus den Bausteinen für \(m\) und \(b\) so, dass an der Nahtstelle kein Sprung entsteht. Finde je Auftrag drei verschiedene stetige Anschlüsse.
Halte fest: Stetig ist der Anschluss genau dann, wenn \(h(x_0)=g(x_0)\) gilt. Das ist nur eine Bedingung für zwei Bausteine — deshalb gibt es viele stetige Anschlüsse.
Abschnittsweise Funktion: \(f(x)=\begin{cases} g(x), & x<x_0\\ h(x), & x\ge x_0\end{cases}\) mit Nahtstelle \(x_0\).
Stetig: In \(x_0\) gibt es keinen Sprung: links- und rechtsseitiger Wert stimmen überein; anschaulich zeichnet man ohne Absetzen.
Sprungstelle: Links- und rechtsseitiger Wert sind verschieden.
Bedingung: Stetig genau dann, wenn \(h(x_0)=g(x_0)\) gilt.
Stetigkeit rechnerisch herstellen
Ganzrationale Funktionen, e- und Sinusfunktionen sind überall stetig. Prüfen muss man nur die Nahtstelle — dort genügt Einsetzen.
Stetig in \(x_0\): \(\lim\limits_{x\to x_0^-} f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+} f(x)=f(x_0)\).
Überall stetig: Ganzrationale Funktionen, e- und Sinusfunktionen.
Nahtstelle: Nur sie muss geprüft werden: Einsetzen und beide Seiten gleichsetzen.
Beispiel: \(x^2+a\) und \(3x-1\) bei \(x_0=2\): \(4+a=5\), also \(a=1\).
Allgemeine Hinweise
Nur die Nahtstelle
Innerhalb der Abschnitte sind die Terme stetig. Die Frage „stetig?“ entscheidet sich allein an \(x_0\).
Welcher Term gilt in x₀?
Das Zeichen \(\le\) oder \(\ge\) sagt, zu welchem Stück der Funktionswert \(f(x_0)\) gehört — nicht einfach den linken Term nehmen.
Stetig ist nicht glatt
Ein Knick ist erlaubt: Auch \(|x|\) ist bei \(0\) stetig. Ob der Übergang glatt ist, klärt erst die Ableitung.