Eine Schar von Graphen
Steht im Funktionsterm ein Parameter \(a\), gehört zu jedem Wert von \(a\) eine eigene Funktion — eine Funktionenschar \(f_a\).
- Schar:\(f_a(x)=a\,x^2(x-3)\) mit \(a\neq 0\).
- Nullstellen:\(x=0\) (doppelt) und \(x=3\) bleiben für jedes \(a\) gleich.
- Streckung:Jeder Funktionswert wird mit \(a\) multipliziert; \(a<0\) spiegelt den Graphen an der \(x\)-Achse.
- Extremstellen:bleiben bei \(x=0\) und \(x=2\); nur die \(y\)-Werte ändern sich, bei \(a<0\) tauschen Hoch- und Tiefpunkt.
- Anpassen:eine Unbekannte \(a\) → eine Bedingung legt die Funktion fest.
Wähle eine Zielvorgabe und stelle \(a\) mit dem Regler ein — oder ziehe den Extrempunkt bei \(x=2\) nach oben oder unten (Pfeiltasten: \(a\) in Schritten von \(0{,}05\)). Ist das Ziel erreicht, wird es grün. Passt kein \(a\), drücke „Geht nicht“.
Halte fest: Der Parameter \(a\) streckt nur in \(y\)-Richtung. Bedingungen an Höhe oder Steigung lassen sich mit genau einem \(a\) erfüllen — die Lage der Null- und Extremstellen verschiebt er nie.
Funktionenschar: Steht im Term ein Parameter \(a\), gehört zu jedem Wert von \(a\) eine eigene Funktion \(f_a\).
Beispiel: \(f_a(x)=a\,x^2(x-3)\): Null- und Extremstellen (\(x=0\) und \(x=2\)) bleiben für jedes \(a\) gleich.
Wirkung von \(a\): Streckung in \(y\)-Richtung; \(a<0\) spiegelt an der \(x\)-Achse.
Anpassen: Eine Unbekannte \(a\) braucht genau eine Bedingung.
Die Schar allgemein untersuchen
Man rechnet mit dem Parameter wie mit einer festen Zahl. Das Ergebnis hängt von \(k\) ab — oft mit Fallunterscheidung.
Schar untersuchen: \(f_k'(x)=0\) nach \(x\) lösen; die Lösungen hängen von \(k\) ab, Fälle für \(k\) unterscheiden.
Rechnen: Mit dem Parameter wird wie mit einer festen Zahl gerechnet.
Beispiel: \(f_k(x)=x^3-3kx\): für \(k>0\) Hochpunkt \(H_k\big(-\sqrt k\mid 2k\sqrt k\big)\) und Tiefpunkt \(T_k\big(\sqrt k\mid -2k\sqrt k\big)\); \(k=0\): Sattelpunkt; \(k<0\): keine Extrempunkte.
Allgemeine Hinweise
Nach x ableiten
In \(f_k'(x)\) wird nur nach \(x\) abgeleitet. Der Parameter \(k\) verhält sich wie eine Zahl: \((3kx)'=3k\).
Vorzeichen von a prüfen
Bei \(f_a(x)=a\,x^2(x-3)\) ist \((2\mid -4a)\) für \(a<0\) ein Hochpunkt, für \(a>0\) ein Tiefpunkt. Passt das Vorzeichen nicht zur Bedingung, gibt es keine Lösung.
Nicht jede Bedingung erfüllbar
Die Lage einer Extremstelle hängt hier nicht von \(a\) ab. „Hochpunkt bei \(x=3\)“ erfüllt kein einziges \(a\).