Knick oder glatter Übergang
Ein stetiger Graph kann an der Nahtstelle trotzdem abknicken. Differenzierbar ist \(f\) dort nur, wenn beide Stücke mit derselben Steigung ankommen.
- Steigung links:\(g'(x_0)\) — die Tangente, der sich die Tangenten von links nähern.
- Steigung rechts:\(h'(x_0)\) — dasselbe von rechts.
- Differenzierbar in \(x_0\):\(f\) ist stetig und \(g'(x_0)=h'(x_0)\); der Graph hat dort genau eine Tangente.
- Knick:stetig, aber \(g'(x_0)\neq h'(x_0)\) — keine eindeutige Tangente, nicht differenzierbar.
- Zusammenhang:differenzierbar ⇒ stetig; die Umkehrung gilt nicht (Beispiel \(|x|\) bei \(0\)).
Lege das Tangentenlineal an den Graphen und ziehe es an die Nahtstelle heran (Pfeiltasten: Schritte von \(0{,}05\)). Notiere Messwerte links und rechts von \(x_0\) und entscheide dann: glatt oder Knick?
Halte fest: Nähern sich die Messwerte von links und von rechts derselben Zahl, geht der Graph glatt über. Bei einem Knick springt der Messwert an der Nahtstelle.
Differenzierbar in \(x_0\): \(f\) ist stetig und \(g'(x_0)=h'(x_0)\); der Graph hat dort genau eine Tangente.
Knick: Stetig, aber \(g'(x_0)\neq h'(x_0)\): keine eindeutige Tangente, nicht differenzierbar.
Zusammenhang: Differenzierbar ⇒ stetig; die Umkehrung gilt nicht, z. B. \(|x|\) bei \(0\).
Einen glatten Übergang berechnen
Mit zwei Parametern lassen sich beide Forderungen erfüllen: erst kein Sprung, dann kein Knick.
\(f\) differenzierbar in \(x_0\): \(g(x_0)=h(x_0)\) und \(g'(x_0)=h'(x_0)\)
Vorgehen: Erst kein Sprung (Funktionswerte gleich), dann kein Knick (Steigungen gleich); mit zwei Parametern lassen sich beide Forderungen erfüllen.
Allgemeine Hinweise
Erst den Sprung prüfen
Gleiche Steigungen reichen nicht: Springt der Graph, ist \(f\) an der Nahtstelle weder stetig noch differenzierbar.
Stücke einzeln ableiten
Leite \(g\) und \(h\) getrennt ab und setze erst dann \(x_0\) ein — eine gemeinsame Ableitung „über die Naht“ gibt es nicht.
Stetig heißt nicht glatt
Bei Beispiel 2 hängt der Graph zusammen und hat trotzdem einen Knick. „Kein Sprung“ ist nur die erste von zwei Bedingungen.