Das Gauß-Verfahren

Das Gauß-Verfahren formt ein LGS so lange um, bis in jeder Gleichung eine Unbekannte weniger vorkommt. Dabei ändert sich die Lösung nicht.

• Erlaubt:eine Gleichung mit einer Zahl \(\neq 0\) multiplizieren; ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addieren oder von ihr subtrahieren; zwei Gleichungen tauschen.
• Spalte 1:Mit Gleichung I das \(a\) aus II und III entfernen.
• Spalte 2:Mit der neuen Gleichung II das \(b\) aus III entfernen.
• Algorithmus:Die Schritte laufen bei jedem LGS gleich ab — deshalb lässt sich das Verfahren programmieren, und GTR und CAS lösen damit auch große Systeme.

Starte mit ▶ oder gehe mit „Schritt“ (bzw. Pfeiltaste rechts im Bild) einzeln vor. Orange ist die Gleichung, die sich ändert, blau die Gleichung, mit der gerechnet wird.

Halte fest: Jeder Schritt macht einen Eintrag unter der Diagonalen zu 0. Aus der untersten Gleichung liest man die letzte Unbekannte ab und setzt dann rückwärts ein.

Aus der Stufenform ergibt sich zuerst \(c\), dann \(b\), zuletzt \(a\). Eine Probe in den Ausgangsgleichungen sichert das Ergebnis.

• Keine Lösung:Eine Zeile wird zu \(0=5\) — Widerspruch, kein Funktionsterm erfüllt alle Bedingungen.
• Unendlich viele:Eine Zeile wird zu \(0=0\) — eine Bedingung war überflüssig, eine Unbekannte bleibt frei (Parameter).
• GTR:MENU › Gleichung › F1 (SIMUL) › F2 (3 Unbekannte), Koeffizienten eintragen, F1 (SOLVE); Sonderfälle: „No Solution“ bzw. „Infinitely Many Solutions“.
• CAS:menu › 3: Algebra › 7: Gleichungssystem lösen › 2: System linearer Gleichungen lösen … — oder direkt linSolve; freie Unbekannte erscheinen als Parameter c1.