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Übungsaufgaben
Dreißig Übungen zum Klicken, Ziehen, Rechnen und Knobeln — von AFB I bis AFB III. Jede Übung gibt dir sofort Rückmeldung; bei Schwierigkeiten helfen dir die gestuften Tipps.
A1
Die Volumenformel
AFB IDer Graph von f rotiert über [a; b] um die x-Achse. Gib alle richtigen Aussagen an.
Mehrere Antworten sind richtig. Markiere alle zutreffenden und klicke dann auf „Prüfen“.
Quadriert wird vor dem Integrieren: Jede Scheibe hat die Grundfläche π · f(x)². Durch das Quadrat ist der Integrand nie negativ.
Frage: Welche Fläche hat eine dünne Scheibe an der Stelle x?Warum? Das Volumen ist die Summe aller Scheiben.
Hilfe: Kreisfläche πr² mit r = |f(x)|.
A2
Ein Kegel
AFB IDer Graph von f(x) = x rotiert über [0; 3] um die x-Achse. Berechne das Volumen (zwei Nachkommastellen).
Rechne selbst und trage das Ergebnis ein — Enter prüft direkt.
V = π ∫03 x² dx = π · 9 ≈ 28,27. Probe mit der Kegelformel: ⅓ π · 3² · 3 = 9π.
Ansatz: f(x)² = x².Warum? Das ist der Integrand der Volumenformel.
Hilfe: ∫03 x² dx = 9.
A3
Memory: erst quadrieren
AFB IOrdne jeder Randfunktion f den Integranden f(x)² zu.
Decke zwei Karten auf, die zusammengehören. Mit der Tastatur: Tab zur Karte, Enter aufdecken, Pfeiltasten zum Wandern.
Wurzeln verschwinden beim Quadrieren — ein Grund, warum Rotationsvolumina oft leichter sind als erwartet. (x + 1)² nicht als x² + 1 schreiben!
Ansatz: Quadriere jede Karte — binomische Formel beachten.Warum? f(x)² ist der Integrand.
Hilfe: (eˣ)² = e2x.