Volumen von Rotationskörpern

Wie bei den Rechteckstreifen wird ein schwieriges Maß in einfache Stücke zerlegt — diesmal nicht in Rechtecke, sondern in Scheiben.

• Rotation:die Fläche zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse über \([a;b]\) dreht sich einmal um die \(x\)-Achse.
• Querschnitt:an jeder Stelle \(x\) ein Kreis mit Radius \(|f(x)|\) und Flächeninhalt \(\pi\cdot f(x)^2\).
• Scheiben:\([a;b]\) in \(n\) Streifen der Breite \(\Delta x=\tfrac{b-a}{n}\) teilen — jeder Streifen wird zu einem flachen Zylinder.
• Scheibenvolumen:\(\pi\cdot f(x_i)^2\cdot\Delta x\) — Grundfläche mal Höhe, \(x_i\) am linken Rand der Scheibe.
• Grenzwert:die Summe aller Scheiben ist eine Produktsumme, für \(n\to\infty\) wird sie zum Integral.

Drehe die Fläche mit dem Regler „Drehwinkel“ oder mit ▶ einmal um die \(x\)-Achse. Zerlege den Körper dann mit dem Regler „Scheiben“ und beobachte, wie sich die Scheibensumme dem Volumen nähert.

Halte fest: Jede Scheibe ist ein Zylinder mit dem Volumen \(\pi\cdot f(x_i)^2\cdot\Delta x\) — ihre Summe wird für immer dünnere Scheiben zum Integral \(\pi\displaystyle\int_a^b f(x)^2\,\mathrm dx\).

Herleitung:

Gerechnet wird mit dem Hauptsatz — nur mit \(f(x)^2\) statt \(f(x)\).

• Schritt 1:\(f(x)^2\) bilden und vereinfachen — Klammern ausmultiplizieren.
• Schritt 2:Stammfunktion bilden, Grenzen einsetzen, mit \(\pi\) multiplizieren.
• Probe:\(f(x)=r\) liefert den Zylinder \(\pi r^2h\), \(f(x)=\tfrac rh\,x\) den Kegel \(\tfrac13\pi r^2h\).
• Hohlkörper:dreht sich die Fläche zwischen \(f\) und \(g\) mit \(f(x)\ge g(x)\ge0\), fehlt innen der Körper von \(g\).