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Schnittprobleme und Winkel

Wo trifft ein Laserstrahl die schräge Wand — und wie weit steht ein aufgeklapptes Buch eigentlich offen?

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Schnitte mit Ebenen

Liegt die Ebene in Koordinatenform vor, genügt Einsetzen — die Anzahl der Lösungen verrät die Lage.

  • Gerade–Ebene:den Geradenpunkt \(\vec p+t\,\vec u\) zeilenweise in die Koordinatengleichung einsetzen — es bleibt eine Gleichung für \(t\).
  • Eine Lösung:\(g\) schneidet \(E\); \(t\) in \(g\) einsetzen liefert den Schnittpunkt \(S\).
  • Keine / alle:Widerspruch wie \(0=5\): \(g\parallel E\). Wahre Aussage \(0=0\): \(g\) liegt in \(E\).
  • Schnelltest:\(\vec u\cdot\vec n=0\) — dann ist \(g\) parallel zu \(E\) oder liegt in \(E\).
  • Ebene–Ebene:Normalenvektoren kollinear: parallel oder identisch (Punktprobe). Sonst schneiden sich die Ebenen in einer Geraden.
  • Schnittgerade:beide Gleichungen als LGS, eine Variable \(=t\) setzen: \(x_1+x_2+x_3=4\), \(x_1-x_2=0\) ergibt \(\vec x=(0|0|4)+t\,(1|1|{-2})\).
  • CAS:TI-Nspire CX CAS: solve(x+y+z=4 and x−y=0,{x,y,z}) liefert die Lösung mit einem freien Parameter c1 — ihn durch \(t\) ersetzen.
  • GTR:Casio fx-CG50: eine Variable gleich \(t\) setzen, dann bleibt ein System mit zwei Unbekannten für Equation → SIMUL (F1).
Merke

Gerade–Ebene: Den Geradenpunkt \(\vec p+t\,\vec u\) in die Koordinatengleichung einsetzen; es bleibt eine Gleichung für \(t\).

Ergebnis: Eine Lösung: \(g\) schneidet \(E\), \(t\) in \(g\) einsetzen liefert \(S\). Widerspruch (\(0=5\)): \(g\parallel E\). Wahre Aussage (\(0=0\)): \(g\) liegt in \(E\).

Ebene–Ebene: Normalenvektoren kollinear: parallel oder identisch. Sonst schneiden sich die Ebenen in einer Geraden; sie folgt aus dem LGS mit einer Variablen \(=t\).

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Schnittwinkel

Schnittwinkel liegen immer zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\). Den Winkel zwischen zwei Ebenen verraten ihre Normalenvektoren.

  • Zwei Geraden:Winkel zwischen den Richtungsvektoren; Betrag im Zähler macht ihn spitz.
  • Zwei Ebenen:Winkel zwischen den Normalenvektoren — gleich dem Winkel, um den eine Ebene gegen die andere gekippt ist.
  • Gerade–Ebene:Der Richtungsvektor schließt mit \(\vec n\) den Winkel \(90^\circ-\varphi\) ein — deshalb Sinus statt Kosinus.
  • Rechner:fx-CG50: Angle( aus OPTN → MAT/VCT (Gradmaß einstellen); TI-Nspire: cos⁻¹(abs(dotP(u,v))/(norm(u)·norm(v))).

Herleitung:

\(\cos(90^\circ-\varphi)=\dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\cdot|\vec n|}\)
Komplement
Start: \(\vec u\) und \(\vec n\) schließen den spitzen Winkel \(90^\circ-\varphi\) ein.
\(\cos(90^\circ-\varphi)=\sin\varphi\)
einsetzen
Kosinus des Komplementwinkels ist der Sinus.
\(\sin\varphi=\dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\cdot|\vec n|}\)
Ergebnis
\(\varphi\) ist der Winkel zwischen \(g\) und ihrer senkrechten Projektion in \(E\).
Merke

Schnittwinkel: Er liegt immer zwischen \(0^\circ\) und \(90^\circ\); der Betrag im Zähler macht den Winkel spitz.

Zwei Geraden: Richtungsvektoren \(\vec u,\vec v\): \(\cos\varphi=\dfrac{|\vec u\cdot\vec v|}{|\vec u|\,|\vec v|}\)

Zwei Ebenen: Normalenvektoren \(\vec n_1,\vec n_2\): \(\cos\varphi=\dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}\)

Gerade–Ebene: \(\sin\varphi=\dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\,|\vec n|}\), denn \(\vec u\) und \(\vec n\) schließen \(90^\circ-\varphi\) ein.

Klappe das Buch auf: Ziehe den runden Griff an der Buchseite (oder nutze die Pfeiltasten). Vergleiche den Öffnungswinkel mit dem Winkel zwischen den beiden Normalenvektoren — besonders, wenn das Buch weiter als \(90^\circ\) offen steht.

Das aufgeklappte Buch

Halte fest: Die Normalenvektoren schließen genau den Öffnungswinkel ein. Steht das Buch weiter als \(90^\circ\) offen, ist der Schnittwinkel \(180^\circ\) minus diesen Winkel — der Betrag in \(|\vec n_1\cdot\vec n_2|\) erledigt das automatisch.

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Allgemeine Hinweise

Sinus bei Gerade–Ebene

Mit \(\vec u\) und \(\vec n\) rechnet man den Winkel zur Senkrechten aus. Wer hier den Kosinus nimmt, erhält \(90^\circ-\varphi\).

Erst Normalen prüfen

Sind \(\vec n_1\) und \(\vec n_2\) kollinear, gibt es keine Schnittgerade — eine Punktprobe entscheidet zwischen parallel und identisch.

Parameter nicht verwechseln

Bei zwei Geraden immer verschiedene Parameter (\(t\) und \(s\)) verwenden — sonst verlangt man, dass beide Punkte „gleichzeitig“ am selben Ort sind.

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