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Der Sinussatz

Drei Seiten, drei Winkel — und ein Quotient, der in jedem Dreieck für alle drei Paare gleich ist.

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Herleitung über die Höhe

Die Höhe \(h\) auf \(c\) lässt sich auf zwei Wegen berechnen. Setzt man beide gleich, entsteht der Sinussatz.

Herleitung:

\(b\cdot\sin\alpha=a\cdot\sin\beta\)
| : \(\sin\alpha\)
Start: \(h=b\cdot\sin\alpha\) und \(h=a\cdot\sin\beta\) gleichsetzen.
\(b=\dfrac{a\cdot\sin\beta}{\sin\alpha}\)
| : \(\sin\beta\)
Durch \(\sin\alpha\) teilen.
\(\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{a}{\sin\alpha}\)
Ergebnis
Durch \(\sin\beta\) teilen — jede Seite steht über dem Sinus ihres Gegenwinkels.
  • Dritte Seite:mit der Höhe auf \(a\) folgt genauso \(\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}\).
  • Paare:Seite und gegenüberliegender Winkel gehören zusammen: \(a\)–\(\alpha\), \(b\)–\(\beta\), \(c\)–\(\gamma\).

Ziehe die Ecken \(B\) und \(C\). Rechts stehen die drei Quotienten als Balken — lege sie übereinander.

Drei Quotienten, ein Wert

Halte fest: Die drei Quotienten sind in jedem Dreieck gleich groß, sogar genau so lang wie der Durchmesser des Umkreises.

Merke

Sinussatz: \(\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}\)

Paare: Seite und gegenüberliegender Winkel gehören zusammen: \(a\)–\(\alpha\), \(b\)–\(\beta\), \(c\)–\(\gamma\).

Herleitung: Die Höhe auf eine Seite lässt sich auf zwei Wegen berechnen; beide gleichgesetzt ergeben den Satz.

Zusatz: Die Quotienten sind so lang wie der Durchmesser des Umkreises.

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Wann der Sinussatz hilft

Der Sinussatz braucht ein vollständiges Paar aus Seite und Gegenwinkel und dazu eine weitere Größe.

  • WSW / SWW:zwei Winkel und eine Seite — dritter Winkel über die Winkelsumme, dann Sinussatz.
  • SsW:zwei Seiten und der Gegenwinkel der größeren Seite — eindeutig lösbar.
  • Winkel gesucht:\(\sin\beta=\dfrac{b\cdot\sin\alpha}{a}\), dann \(\beta=\sin^{-1}(\dots)\).
  • Kein Paar:bei SWS oder SSS hilft der Sinussatz nicht — dafür gibt es den Kosinussatz.
Merke

Voraussetzung: Der Sinussatz braucht ein vollständiges Paar aus Seite und Gegenwinkel und eine weitere Größe.

Fälle: WSW, SWW (dritter Winkel über die Winkelsumme) und SsW (Gegenwinkel der größeren Seite) sind lösbar.

Winkel gesucht: \(\sin\beta=\dfrac{b\cdot\sin\alpha}{a}\), dann \(\beta=\sin^{-1}(\dots)\).

Grenze: Bei SWS oder SSS hilft nur der Kosinussatz.

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Allgemeine Hinweise

Gegenwinkel, nicht Nachbarwinkel

Im Quotienten steht immer der Winkel, der der Seite gegenüberliegt: \(a\) mit \(\alpha\), nicht mit \(\beta\).

Zweite Lösung beim Winkel

\(\sin^{-1}\) liefert nur einen spitzen Winkel. Ist der gesuchte Winkel stumpf, lautet er \(180^\circ\) minus diesen Wert.

Gesuchte Größe nach oben

Wer eine Seite sucht, schreibt die Seiten in den Zähler: \(\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{a}{\sin\alpha}\) — dann nur noch mit \(\sin\beta\) multiplizieren.

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